Absoluter Betrag

Der absolute Betrag, Absolutbetrag oder auch schlicht Betrag einer Zahl ist immer eine positive Zahl oder Null. Man schreibt den Betrag einer Zahl x als |x| oder als abs(x).

Inhaltsverzeichnis

1 Konkrete Beispiele 1.1 Bei komplexen Zahlen 2 Betrag und Metrik 3 Beispiele 4 Verallgemeinerung: Norm 5 Verallgemeinerung: Betrag und Bewertung 6 Weblink

Konkrete Beispiele

Bei den reellen Zahlen ist der Betrag der Zahl die Zahl selbst, wenn sie positiv oder Null ist:

| x | = x. (Beispiel: | 3 | = 3)

Wenn die Zahl negativ ist, gilt:

| x | = − x. (Beispiel: | − 4 | = − ( − 4) = 4)

Man kann den Betrag auch als Entfernung der Zahl vom Nullpunkt auf der Zahlengerade ansehen.

Bei komplexen Zahlen

Übertragen auf komplexe Zahlen ist der Absolutbetrag einer Zahl z = a + ib die Entfernung dieser Zahl vom Ursprung der Gaußschen Zahlenebene. Für die komplexe Zahl z ist

.

Hierbei bezeichnet die komplex Konjugierte von z.

Betrag und Metrik

Über den Betrag kann man eine Abstandsfunktion (Metrik) definieren: Der Abstand d(x,y) zweier Zahlen x, y ist der Betrag ihrer Differenz |x - y|.

Ist der Betrag nichtarchimedisch (siehe unten), dann ist die erzeugte Metrik eine Ultrametrik.

Beispiele

Sei |x+3| = 5. Gesucht sind alle x, die diese Gleichung erfüllen.

Man führt eine Fallunterscheidung durch, je nachdem ob x+3 (also der Ausdruck im Betragszeichen) positiv oder negativ ist.

1. Fall: x+3 ist positiv

Die Ausgangsgleichung ist dann gleichbedeutend mit

x + 3 = 5

2. Fall: x+3 ist negativ

Die Ausgangsgleichung ist dann gleichbedeutend mit

− (x + 3) = 5

Insgesamt folgt, dass 2 und -8 die Gleichung lösen.

Verallgemeinerung: Norm

Der Absolutbetrag ist eine spezielle Norm; den Begriff Norm kann man als eine Verallgemeinerung des Absolutbetrags verstehen.

Verallgemeinerung: Betrag und Bewertung

Verallgemeinert spricht man von einem Betrag, wenn eine Funktion |·| von einem Körper K in die reellen Zahlen folgende Eigenschaften erfüllt:

1. |x| ≥ 0 für alle x und |x| = 0 genau dann, wenn x = 0.

2. |x|·|y| = |x·y| für alle x, y

3. |x + y| ≤ |x| + |y| (die Dreiecksungleichung)

Gilt zudem

4. |x + y| ≤ max{|x|,|y|}

so spricht von einem ultrametrischen oder nichtarchimedischen, andernfalls von einem archimedischen Betrag. Die oben genannte Betragsfunktion auf den reellen bzw. komplexen Zahlen ist archimedisch. Da 3. aus 4. folgt, nennt man 4. auch die verschärfte Dreiecksungleichung. Nichtarchimedische Beträge spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der p-adischen Zahlen.

Hat man einen nichtarchimedischen Betrag |·|, und wählt eine reelle Zahl b > 1, dann hat die Funktion mit v(x) = − log_b | x | für x ≠ 0 und v(0) = ∞ folgende Eigenschaften:

1. v(x) = ∞ genau dann, wenn x = 0.

2. v(x·y) = v(x) + v(y) für alle x, y

3. v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)}

Eine Funktion mit diesen drei Eigenschaften nennt man eine Bewertung auf K.

Umgekehrt kann man einer Bewertung v einen nichtarchimedischen Betrag zuordnen, indem man für eine reelle Zahl b > 1 setzt: |x| = b^−v(x).

Weblink

• http://www.mmnetz.de/huseyin/betragsfunktion.pdf Kurvendiskussion einer Funktion mit Beträgen am Beispiel von f(x) = | 17x⁵ − 16 | .

See also: Absoluter Betrag, Bewertungstheorie, Dreiecksungleichung, Gaußsche Zahlenebene, Komplexe Zahlen, Konjugation (Mathematik), Körper (Mathematik), Metrischer Raum, Normierter Raum, Null