Symmetrie (Geometrie)

Mit dem geometrischen Begriff Symmetrie (von griechisch syn (=zusammen) und metron (=Maß)) bezeichnet man die Eigenschaft, dass ein geometrisches Objekt durch bestimmte Umwandlungen auf sich selbst abgebildet werden kann, also unverändert erscheint. Eine Umwandlung, die ein Objekt auf sich selber abbildet, heißt Symmetrieoperation. Zwei verschiedene geometrische Objekte können zueinander symmetrisch sein, nämlich dann, wenn eine Symmetrieoperation existiert, die das eine Objekt in das andere überführt.

Abhängig von der Zahl der betrachteten Dimensionen gibt es unterschiedliche Symmetrien.

Inhaltsverzeichnis

1 Symmetrien im Eindimensionalen 2 Symmetrien im Zweidimensionalen 2.1 Achsensymmetrie 2.2 Achsensymmetrie von Funktionsgraphen 2.3 Punktsymmetrie 2.4 Punktsymmetrie von Funktionsgraphen 2.5 Beispiel mit Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung 2.6 Beispiel mit Punktsymmetrie zum Punkt P = (0|2) 3 Ebene 2 Überschrift 4 Symmetrien im Dreidimensionalen 4.1 Natur 5 Symmetrien in mehr als drei Dimensionen 6 Translationssymmetrie 7 Rotationssymmetrie 8 Kombinationen

Symmetrien im Eindimensionalen

Im Eindimensionalen, also auf dem Zahlenstrahl, gibt es nur eine Art der Symmetrie.

Symmetrien im Zweidimensionalen

Im Zweidimensionalen muss zwischen Punkt- und Achsen- und Rotationssymmetrie unterschieden werden.

Achsensymmetrie

Die Achsensymmetrie oder axiale Symmetrie ist eine Form der Symmetrie, die bei Dingen auftritt, die entlang einer Symmetrieachse gespiegelt sind. thumb|260px|Achsensymmetrische Objekte in 2D Verschiedenes:

• Dreiecke können eine oder drei Symmetrieachsen haben: Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch bezüglich der Mittelsenkrechten zur Basis. Gleichseitige Dreiecke haben drei Symmetrieachsen.
• Vierecke können eine, zwei oder sogar vier Symmetrieachsen besitzen:
  • Mindestens eine Symmetrieachse haben gleichschenklige Trapeze (durch die Mittelpunkte der parallelen Seiten) und Drachenvierecke (entlang einer Diagonale).
  • Mindestens zwei Symmetrieachsen liegen vor beim Rechteck (die Mittelsenkrechten von gegenüber liegenden Seiten) und bei der Raute (beide Diagonalen).
  • Das Quadrat schließlich ist Rechteck und Raute zugleich und weist somit vier Symmetrieachsen auf.
• Kreise weisen sogar unendlich viele Symmetrieachsen auf, da sie bezüglich jedes Durchmessers symmetrisch sind.

Achsensymmetrie von Funktionsgraphen

thumb|120px|Achsensymmetrischer Funktionsgraph Eine vor allem in der Schulmathematik beliebte Aufgabenstellung besteht darin, für den Graphen einer Funktion die Achsensymmetrie nachzuweisen. Dieser Nachweis ist besonders einfach im Falle der Symmetrie bezüglich der y-Achse des (kartesischen) Koordinatensystems. Es muss nur die Gültigkeit der Beziehung f(-x) = f(x) gezeigt werden. Diese Bedingung läuft darauf hinaus, dass die Funktionswerte für die entgegengesetzt gleichen Argumente x und -x übereinstimmen müssen.

Als Beispiel soll die Gleichung einer einfachen quadratischen Funktion dienen:

Anwendung des genannten Kriteriums ergibt:

Der Graph (eine Parabel) ist also tatsächlich symmetrisch bezüglich der y-Achse.

Allgemeiner gilt: Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch bezüglich der Geraden mit der Gleichung x = a, wenn die folgende Bedingung für beliebige Werte von x richtig ist:

Beispiel: Graph der Funktion f mit der Gleichung y = f(x) = x² − 4x + 3; Achsensymmetrie bezüglich der Geraden mit der Gleichung x = 2

Damit ist die Vermutung der Achsensymmetrie bestätigt.

Punktsymmetrie

thumb|260px|Punktsymmetrische Objekte in 2D Die Punktsymmetrie ist eine Eigenschaft geometrischer Objekte. Ein geometrisches Objekt (z.B. ein Viereck) heißt (in sich) punktsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung gibt, die dieses Objekt auf sich abbildet. Gelegentlich spricht man auch von einer zentralen Symmetrie. Obwohl eine solche Spiegelung einer Drehung um 180° entspricht, ist die Punktsymmetrie von der Drehsymmetrie zu unterscheiden. Sie bildet lediglich den Spezialfall einer Drehsymmetrie. Die folgende Abbildung zeigt einige punktsymmetrische Figuren.

Zwei verschiedene Objekte können zueinander punktsymmetrisch sein, nämlich dann, wenn eine Punktspiegelung existiert, die das eine Objekt in das andere überführt.

Verschiedenes:

• Ein Dreieck kann nicht in sich punktsymmetrisch sein, wohl aber zwei Dreiecke zueinander.
• Bei einem Viereck liegt Punktsymmetrie (in sich) genau dann vor, wenn es sich um ein Parallelogramm handelt. Das Symmetriezentrum ist in diesem Fall der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Als Sonderfälle des Parallelogramms sind auch Rechteck, Raute und Quadrat punktsymmetrisch.
• Jeder Kreis ist (in sich) punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.
• Zwei Kreise mit identischem Radius sind zueinander punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zwischen den beiden Kreismittelpunkten.

Punktsymmetrie von Funktionsgraphen

thumb|120px|Punktsymmetrischer Funktionsgraph

Eine vor allem in der Schulmathematik häufige Aufgabenstellung besteht darin nachzuweisen, dass der Graph einer gegebenen Funktion punktsymmetrisch ist. Dieser Nachweis kann mit der folgenden Formel geführt werden:

Ist diese Gleichung für alle x erfüllt, liegt Punktsymmetrie zum Punkt P = (a|b) vor. Die genannte Bedingung ist gleichwertig zu

(für beliebiges h).

Im Spezialfall P = (0|0) vereinfacht sich diese Gleichung:

Ist sie für alle x gültig, liegt Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor.

Beispiel mit Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung

thumb|Kurve von f(x) = 2x⁵ geg.: f(x) = 2 x⁵

f(-x) = 2 * -x⁵
f(-x) = -2x⁵ | * (-1)
-f(-x) = 2x⁵ = f(x)

--> Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)!

Beispiel mit Punktsymmetrie zum Punkt P = (0|2)

thumb|Kurve von f(x) = 2x⁵ + 2 geg.: f(x) = 2 x⁵ + 2
P = (a|b) = (0|2)
also a = 0 und b = 2
- f(-x+2a) + 2b = - f(-x) + 4 = - ( 2(-x)⁵ + 2) + 4
- f(-x+2a) + 2b = 2x⁵+2 = f(x)

--> Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch zu P = (0|2)! njjjjnjhbjhjlkölkä

Ebene 2 Überschrift

kjkjkLink-Text,k

Symmetrien im Dreidimensionalen

Im Dreidimensionalen kommt zur Achsen- und Punktsymmetrie die Flächensymmetrie.

Natur

Der Aufbau der meisten höheren Lebewesen ist mehr oder weniger annähernd spiegelsymmetrisch (bei niederen Lebensformen findet sich oft Achsensymmetrie, diese bilden somit einen angenäherten Rotationskörper). Auch der Mensch verfügt über eine vertikale Symmetrieebene. Diese Symmetrie ist dabei jedoch nicht vollständig, so ist der Aufbau der inneren Organe nicht spiegelsymmetrisch. Auch die scheinbar zueinander symmetrischen Körperteile wie Augen, Ohren, Arme, Beine, Brüste etc.weisen untereinander immer mehr oder weniger große Lage-, Form- und Größenunterschiede auf.

Symmetrien in mehr als drei Dimensionen

In Räumen mit n-Dimensionen gibt es entsprechend den obigen Beispielen n verschiedene Symmetrien.

Translationssymmetrie

Symmetrie gegenüber einer (Parallel-)Verschiebung (Translationssymmetrie)

Rotationssymmetrie

Symmetrisch gegenüber einer Drehung (Rotationssymmetrie) sind Rotationskörper.

Kombinationen

Aus der Möglichkeit Symmetrieoperationen zu kombinieren lassen sich die symmetrischen Grundoperationen herleiten:

1. Identität (Null-Operation, keine Veränderung)
2. Rotation (Drehung)
3. Rotation - Inversion (Drehspiegelung)
4. Translation (Verschiebung)

See also: Symmetrie (Geometrie), Abbildung (Mathematik), Arm, Augen, Brüste, Drachenviereck, Drehsymmetrie, Dreieck, Funktion (Mathematik), Funktionsgraph