Affine Geometrie

Die affine Geometrie ist eine Verallgemeinerung der Euklidischen Geometrie, in der zwar das euklidische Parallelenaxiom gilt, aber Abstand und Winkel keine Bedeutung haben.

Im Sinne des Erlanger Programms von Felix Klein wird die affine Geometrie als Inbegriff der unter affinen Abbildungen invarianten geometrischen Eigenschaften eingeführt.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

2 Schreib- und Sprechweise

3 Beispiele

4 Literatur

Definition

Von einer affinen Geometrie spricht man, wenn man eine Menge von Punkten $\mathfrak{P}$ , eine Menge von Geraden $\mathfrak{G}$ , eine Inzidenzrelation $I$ zwischen $\mathfrak{P}$ und $\mathfrak{G}$ sowie eine Parallelitätsrelation $\|$ auf $\mathfrak{G}$ gegeben hat, und folgende Axiome erfüllt werden:

Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade.
Auf jeder Gerade liegen mindestens zwei Punkte.
Die Parallelitätsrelation $\|$ ist eine Äquivalenzrelation
Durch jeden Punkt geht genau eine Gerade, die zu einer gegebenen Gerade parallel ist.
Wenn ein Dreieck ABC gegeben ist, und zwei Punkte $A'$ und $B'$ derart, dass die Gerade $g A B$ parallel zu der Geraden $g A' B'$ liegt, so gibt es einen Punkt C so, dass auch $g A C$ parallel zu $g A' C'$ und $g B C$ parallel zu $g B' C'$ liegen.

Schreib- und Sprechweise

Punkte werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet. $A,B,C,...\in\mathfrak{P}$
Geraden werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet. $a,b,c,...\in\mathfrak{G}$
Gilt für $A\in\mathfrak{P}$ und $g\in\mathfrak{G}\ A\mathrm{I}g$ so sagt man, A inzidiert mit g, oder A liegt auf g oder g geht durch A.
Gilt für $g,h\in\mathfrak{G}\ g\|h$ so sagt man, g und h sind parallel.
Seien $A,B\in\mathfrak{P}$ zwei Punkte, so wird die nach dem ersten Axiom eindeutig definierten Gerade durch $a$ und $b$ mit $g A B$ bezeichnet.

Beispiele

Durch Vektorräume erzeugte affine Räume:
- Der euklidische Anschauungsraum, kann mit einem dreidimensionalen Vektorraum über $\mathbb{R}$ erzeugt werden.
- Die euklidische Ebene kann durch einen zweidimensionalen Vektorraum über $\mathbb{R}$ erzeugt werden.
- Triviale Beispiele sind:
  - eine Gerade auf der alle Punkte liegen,
  - ein einzelner Punkt und $\mathfrak{G}$ ist leer,
  - sowohl $\mathfrak{P}$ als auch $\mathfrak{G}$ sind leer
- Die kleinst affine Ebene ist die Ebene die durch den zweidimensionalen Vektorraum über den endlichen Körper $\mathbf{F}_2$ erzeugt werden kann. Sie besteht aus den Punkten $\mathfrak{P}={A,B,C,D}$ und den Geraden $\mathfrak{G}={g_{AB},g_{AC},g_{AD},g_{BC},g_{BD},g_{CD}}$ . Ferner gilt $g_{AB}\|g_{CD}, g_{AC}\|g_{BD}, g_{AD}\|g_{BC}$

Alle durch Vektorräume erzeugte affine Geometrien erfüllen den großen affinen Satz von Desargues. Es gibt aber auch affine Geometrien, die nicht den großen affinen Satz von Desargues erfüllen, sie können mithin nicht durch einen Vektorraum erzeugt werden. Ein Beispiel hierzu ist die

Moulonsche Ebene

Hat die affine Geometrie mehr als zwei Dimensionen, so wird der große affine Satz von Desargues immer erfüllt, trivialerweise auch, wenn die affine Geometrie weniger als zwei Dimensionen hat. Der große affine Satz von Desargues ist mithin nur für affine Ebenen von Bedeutung.

Literatur

Günter Ewald: Geometrie, Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN 3-525-40536-7

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Schreib- und Sprechweise

Beispiele

Literatur

See also: Affine Geometrie, Affine Abbildung, Affiner Raum, Erlanger Programm, Euklidischen Geometrie, Felix Klein, Invarianz (Physik), Körper (Mathematik), Parallelenaxiom, Relation (Mathematik)