Alternativität
Alternativität ist eine Abschwächung des Assoziativgesetzes.
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Definition
Die Verknüpfung · heißt alternativ, wenn die beiden unten stehenden Aussagen gelten:
- o · ( o · p ) = ( o · o ) · p
und
- o · ( p · p ) = ( o · p ) · p.
Bedeutung
Ist eine Verknüpfung assoziativ, kann man die Klammern in drei- und mehrgliedrigen Ausdrücken weglassen:
- (o · q) · p = o · (q · p) = o · q · p
Gilt das Assoziativgesetz nicht mehr, müssen alle Klammern stehen bleiben.
Gilt die Alternativität, kann man die Klammern wenigstens dann weglassen,
wenn o=q oder wenn q=p. Insbesondere lassen sich gleiche Faktoren zu Potenzen
zusammenfassen.
Das heißt, daß es möglich ist Produkte der Art
(a · a) · ((a · a) · b) zusammenzufassen zu 
.
Beispiele
- Die Multiplikation der Oktonionen ist alternativ.
- Jede assoziative Verknüpfung ist automatisch alternativ.