Anfangsobjekt
Anfangsobjekte (auch initale Objekte), Endobjekte (terminale Objekte) und Nullobjekte sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.
- Ein Anfangsobjekt ist ein Objekt X, so dass Mor(X,Y) für jedes Objekt Y aus genau einem Element besteht, d.h. es gibt einen eindeutigen Morphismus X → Y.
- Ein Endobjekt ist ein Objekt X, so dass Mor(Y,X) für jedes Objekt Y aus genau einem Element besteht, d.h. es gibt einen eindeutigen Morphismus Y → X.
- Ein Nullobjekt ist ein Objekt, das gleichzeitig Anfangs- und Endobjekt ist. Sind Anfangs- und Endobjekte isomorph, so sind sie Nullobjekte.
Anfangs-, End- bzw. Nullobjekte sind eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus.
Kategorien mit Nullobjekten
Gibt es in einer Kategorie ein Nullobjekt 0, so gibt es zu je zwei Objekten X, Y stets einen kanonischen so genannten Nullmorphismus 0 von X nach Y, der die Verkettung von
- X → 0 → Y
ist. In Kategorien mit Nullobjekten gibt es also den Begriff des Kerns eines Morphismus f, definiert als Differenzkern des Paares (f,0).
Nullmorphismen erlauben auch die Konstruktion eines kanonischen Pfeils aus einem Koprodukt in das entsprechende Produkt.
Beispiele
- In der Kategorie der Mengen ist die leere Menge Anfangsobjekt, einelementige Mengen sind Endobjekte.
- In der Kategorie der Gruppen oder abelschen Gruppen ist die triviale Gruppe (die nur aus dem neutralen Element besteht), Nullobjekt.
- In der Kategorie der Vektorräume über einem Körper (oder allgemeiner Moduln über einem Ring) ist der Nullvektorraum (bzw. Nullmodul) Nullobjekt.
- In der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement ist der Ring Z der ganzen Zahlen Anfangsobjekt und der Nullring Endobjekt.
- In der Kategorie der punktierten topologischen Räume sind die einpunktigen Räume Nullobjekte.