Artinsches Reziprozitätsgesetz

Das Artin'sche Reziprozitätsgesetz (nach Emil Artin) umfasste historisch gesehen alle schon vorher bekannten. Es besagt, dass ein Quotient einer verallgemeinerten Idealklassengruppe einer abelschen Körpererweiterung isomorph zur Galoisgruppe dieser Erweiterung ist.

Genauer kann man es wie folgt formulieren:

$I(\mathfrak{c}) / P_{\mathfrak{c}} \mathfrak{N}(\mathfrak{c}) \simeq G$

Dabei ist $I(\mathfrak{c})$ die Menge der Primideale von $k$ relativ prim zu dem Zykel $\mathfrak{c}$ , $\mathfrak{N}(\mathfrak{c})$ die Gruppe der Normen von gebrochenen Idealen in $K$ prim zu $\mathfrak{c}$ und $P_{\mathfrak{c}}$ die Untergruppe von P (Gruppe der gebrochenen Hauptideale) ist, die aus den gebrochenen Hauptidealen $(α)$ besteht mit $\alpha \in k_\mathfrak{c}$ , wobei $k_\mathfrak{c}$ eine Untergruppe der Einheitengruppe $k *$ ist. Der Zykel $\mathfrak{c}$ muss dabei durch alle verzweigten Primideale teilbar sein.

Artinsches Reziprozitätsgesetz

See also: Artinsches Reziprozitätsgesetz, Einheitengruppe, Emil Artin, Galoisgruppe, Hauptideal, Isomorph, Körpererweiterung, Primideal, Zykel, Verzweigt