Assoziative Algebra
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Assoziative Algebra ist ein Begriff aus der Mathematik. Die Erforschung assoziativer Algebren ist ein Gegenstand des mathematischen Teilgebiets Algebra.
Definition
Ein Vektorraum B über einem Körper A oder ein Modul B über einem Ring A zusammen mit einer bilinearen Abbildung
heißt assoziative Algebra, wenn das folgende Assoziativgesetz gilt:
- a * (b * c) = (a * b) * c.
Es handelt sich also um eine spezielle Algebra.
Beispiele
- Die Menge aller Polynome mit reellen oder komplexen Koeffizienten bilden eine assoziative Algebra über den reellen bzw. den komplexen Zahlen.
- Die Linearen Abbildungen auf einem Vektorraum bilden mit der Verkettung eine assoziative Algebra
- Der Vektorraum aller reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einem beliebigen topologischem Raum bildet eine assoziative Algebra; dabei werden die Funktionen punktweise addiert und multipliziert.
- Der Vektorraum aller stetigen reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einem Banachraum bildet eine assoziative Algebra, bzw. sogar eine Banach-Algebra.
- Die Menge aller n × n Matrizen zusammen mit der Matrizenmultiplikation bilden eine assoziative Algebra.
- Die komplexen Zahlen bilden eine assoziative Algebra über dem Körper der reellen Zahlen.
- Die Quaternionen sind eine assoziative Algebra über dem Körper der reellen Zahlen, aber nicht über den komplexen Zahlen.