Ausgleichungsrechnung
Unter einer Ausgleichungsrechnung (auch Ausgleich(ung), Ausgleichsrechnung, Parameterschätzung oder Fit genannt) versteht man die Schätzung von unbekannten Parametern eines mathematischen Modells. Im einfachsten Fall hat eine Ausgleichsrechnung zum Ziel, eine größere Anzahl empirischer Daten näherungsweise durch eine glatte Kurve zu beschreiben. Ausgleichsrechnungen werden in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften durchgeführt.
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Einleitung
Im einfachsten Fall handelt es sich um die Ausgleichung der Messabweichungen (Verbesserung, Residuum) nach der Methode der kleinsten Quadrate. Hierbei werden die Unbekannten des Modells so bestimmt, dass die Quadratsumme der Messabweichungen aller Beobachtungen minimal wird. Die Beobachtungen werden in diesem Fall oft als normalverteilt, gleichgenau und unkorreliert angesehen. Man untersucht die stochastischen Eigenschaften der Beobachtungen in der Regressionsanalyse.
Funktionales und stochastisches Modell
Im Allgemeinen wird zwischen funktionalem Modell und stochastischem Modell unterschieden. Ein funktionales Modell beschreibt hierbei die mathematischen Relationen zwischen den bekannten (konstanten), unbekannten und den beobachteten Parametern. Die Beobachtungen stellen dabei stochastische Größen (Zufallsvariable) dar.
Das stochastische Modell untersucht die Varianzen und Kovarianzen der beobachteten Parameter. Es beschreibt so die Streuung der Beobachtungen und die Korrelation(en) zwischen den verschiedenen Merkmalen.
Das Ziel ist eine optimale Ableitung der unbekannten Werte (Parameter) und der Maße für ihre Genauigkeit- und Zuverlässigkeit im Sinne einer Zielfunktion. Für letztere ist am häufigsten die minimale Summe der Abweichungsquadrate, doch können es für Sonderfälle z.B. auch minimale Absolutwerte oder andere Zielfunktionen sein.
Modelltheorie
Zur Lösung von Ausgleichungsproblemen steht ein umfangreicher Formelapparat zur Verfügung. Je nach mathematischem Modell werden verschiedene Formeln notwendig.
Das Hauptunterscheidungsmerkmal ist hierbei,
- ob sich alle Beobachtungen als Funktionen von Unbekannten und Konstanten darstellen lassen,
- ob die Beobachtungen voneinander unabhängig oder korreliert sind, bzw. ob die Korrelationen mathematischer oder physikalischer Natur sind;
- ob die Relationen nur Beobachtungen und Konstanten aufweisen, jedoch keinerlei Unbekannte enthalten,
- ob es unter der Menge der Relationen auch solche gibt, die ausschließlich Beziehungen unter Konstanten und Unbekannten beschreiben und damit Restriktionen zwischen Unbekannten beschreiben.
- Bei gemischtem Auftreten von sehr verschiedenen Messgrößen - etwa bei geometrischen und physikalischen Messungen - wurden die Methoden der Ausgleichsrechnung von einigen Mathematikern und Geodäten um 1960 zur sog. Kollokation erweitert.
- Auch für die Lösung des Systems von Normalgleichungen, das bei der Methode der kleinsten Quadrate entsteht, gibt es zahlreiche Methoden, die je nach Anzahl und Struktur der besetzten und leeren Matrixstellen verschiedene Vor- und Nachteile besitzen.
- Nähere Informationen zur Methode der kleinsten Quadrate findet man in den Beiträgen Methode der kleinsten Quadrate und Regressionsanalyse.
Siehe auch
Satz von Gauß-Markow, Fehlerfortpflanzung, Carl Friedrich Gauß, Ausgleich, Bündelblockausgleichung, Netzausgleichung
Weitere Stichworte
Gauß-Helmert, Fehleranalyse
Literatur
- H. Wolf: Ausgleichsrechnung I und II : Formeln zur praktischen Anwendung. Bonn 1994 (2. Auflage)