Barometrische Höhenformel

[[Bild:Atmosphäre Dichte 600km.png|thumb|300px|Durchschnittlicher Druck und Dichte in Abhängkeit von der Höhe.]] Die barometrische Höhenformel beschreibt die vertikale Verteilung der (Gas-)Teilchen in der Atmosphäre der Erde, also die Änderung des Luftdruckes mit der Höhe. Man spricht daher auch von einem vertikalen Druck-Gradienten, der jedoch aufgrund der hohen Dynamik innerhalb der Atmosphäre (Wetter) nur mit Näherungen auf mathematischem Wege beschrieben werden kann.

Ganz grob und vereinfacht kann angenommen werden, dass in der Nähe des Meeresspiegels der Luftdruck um ein hPa pro 8 m abnimmt.

Isotherme Atmosphäre

Die in einführender Literatur und im Schulunterricht meist zitierte klassische barometrische Höhenformel gilt für den Spezialfall, dass die Temperatur in jeder Höhe gleich (isotherm) ist. In diesem Fall sind Druck und Luftdichte proportional zueinander. Mit zunehmender Höhe h nimmt der Druck p ab. Dabei gilt die hydrostatische Gleichung:

\frac{\mathrm{d}p}{p} = -\frac{\rho g}{p}\,\mathrm{d}h = -\frac{mg}{k_\mathrm{B}T}\,\mathrm{d}h = -\frac{Mg}{RT}\,\mathrm{d}h \quad \mbox{mit}\quad \rho = {pM \over RT}

Dabei ist p0 der Druck am Boden (p0=1013,25hPa in der Standardatmosphäre für h=0), M die molare Masse, m die absolute Teilchenmasse, g die Schwerebeschleunigung, R die universelle Gaskonstante, kB die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur in Kelvin. Des Weiteren ist R einfach das Produkt von Boltzmann-Konstante kB und Avogadrozahl NA:

R = N_\mathrm{A}\cdot k_\mathrm{B} = 8{,}314472 \,{\mathrm{J}\over{\mathrm{mol}\,\mathrm{K}}}

Die Lösung der hydrostatischen Gleichung im isothermen Fall ist eine Exponentialfunktion:

p = p_0 e^{-{Mgh \over RT}}

Die Höhenformel lässt sich auch vereinfacht darstellen:

p = p_0 e^{-\frac{h}{h_s}}\quad\mbox{mit}\quad h_s = \frac{RT}{Mg}

hs wird dabei auch als Skalenhöhe bezeichnet. Sie beträgt in der Troposphäre etwa 7350m. Analog gilt dies auch für die Dichte:

\rho = \rho_0 e^{-\frac{h}{h_s}}

Je näher ein Teilchen dem Massezentrum (Gravitation) der Erde ist, desto mehr Teilchen befinden sich darüber und üben einen Druck aus. Daher nimmt mit zunehmender Höhe auch die Anzahl der Teilchen ab, da diese bei geringerem Druck durch ihre Eigenbewegung mehr Raum einnehmen. Es lässt sich hieraus als wesentlicher Grundsatz ableiten, dass der Luftdruck mit der Höhe immer abnimmt und niemals mit ihr zunehmen kann.

n = n_0 e^{-{Mgh \over RT}}

Die genaue Herleitung der obigen Formel basiert auf Annahmen von Konstanz der Energie durch die Adiabatische Zustandsänderung (Adiabate) und dem Begriff der Inneren Energie.

Atmosphäre mit linearem Temperaturverlauf

Im Allgemeinen ist die Temperatur nicht konstant, sondern variiert mit der Höhe. Bei einer adiabatischen Atmosphäre ergibt sich eine lineare Temperaturabnahme. Der resultierende adiabatische Temperaturgradient wird, je nachdem ob Kondensation auftritt oder nicht, nach dem trockenadiabatischen und dem feuchtadiabatischen Temperaturgradienten unterschieden. Diese gelten jedoch lediglich für die Troposphäre, der Temperaturgradient in höhere Luftschichten wird jedoch durch eine Vielzahl von Prozessen bestimmt, etwa der Absorption von UV-Strahlung in der Ozonschicht. In erster Näherung kann die Temperaturänderung in der Troposphäre durch eine lineare Abnahme um 6,5 Kelvin je Kilometer veranschlagt werden.

Ist α der erwähnte Temperaturgradient, so ergibt sich durch Lösen der hydrostatischen Gleichung anstelle einer Exponentialfunktion ein Potenzgesetz:

p = p_0\left(\frac{T_0+\alpha h}{T_0}\right)^\beta\quad\mbox{mit}\quad \beta=-\frac{Mg}{R\alpha}\,,

wobei T0 die Temperatur am Boden ist. Die entsprechende Funktion für die Dichte sieht sehr ähnlich aus:

\rho = \rho_0\left(\frac{T_0+\alpha h}{T_0}\right)^{\beta-1}\ ;

der um 1 verminderte Exponent folgt aus der reziproken Temperaturabhängigkeit der Dichte. Für α = -6,5 K/km hat β den Wert 5,26.

Diese erweiterte barometrische Höhenformel bildet die Grundlage für die barometrische Höhenfunktion der Standardatmosphäre in der Luftfahrt. Dabei wird zunächst die Atmosphäre in Teilschichten mit jeweils linear interpoliertem Temperaturverlauf unterteilt. Dann werden, mit der untersten Schicht beginnend, Temperatur und Druck an der Obergrenze der jeweiligen Teilschicht berechnet und für die Untergrenze der darüber liegenden Schicht eingesetzt. Auf diese Weise entsteht induktiv das Modell für die gesamte Atmosphäre.

Siehe auch

Barometrische Höhenmessung - Standardatmosphäre - Kinetische Gastheorie - Luft - Hochdruckgebiet - Tiefdruckgebiet - Wind - Formelsammlung Hydrostatik

See also: Barometrische Höhenformel, Adiabate, Adiabatisch, Adiabatische Zustandsänderung, Avogadrozahl, Barometrische Höhenmessung, Boltzmann-Konstante, Brownsche Molekularbewegung, Dichte, Druck (Physik)