Barwert

Der Barwert (oder im Englischen: present value) ist ein Begriff aus der Finanzmathematik und entspricht dem Wert, den eine zukünftig anfallende Zahlung in der Gegenwart besitzt. Daneben gibt es noch den Begriff des versicherungsmathematischen Barwerts, welcher eine Verallgemeinerung des finanzmathematischen Barwerts darstellt.

Inhaltsverzeichnis

1 Barwert einer einzigen Zahlung

1.1 Erläuterung
1.2 Beispiel

2 Barwert bei unterjähriger Verzinsung

3 Barwert einer Annuität

3.1 Erläuterung
3.2 Beispiel

4 Versicherungsmathematischer Barwert

5 Bemerkung

6 Siehe auch

Barwert einer einzigen Zahlung

Erläuterung

Durch den Barwert ist es möglich, bei gleichbleibendem Zinssatz und jährlichen Zahlungen, die Höhe der Investition zum heutigen Zeitpunkt zu bestimmen. Somit können verschiedene Investitionen mit unterschiedlichen Laufzeiten und Zinssätzen miteinander verglichen werden.

Um einen Barwert (auch Gegenwartswert) zu berechnen, müssen folgende Daten gegeben sein:

Die Höhe der in der Zukunft fließenden Zahlung Z (in der Formel mit $Z T$ bezeichnet).
Die Anzahl der Perioden, über welche die Zahlung abgezinst werden soll (T).
Der Zinssatz r, mit dem die Zahlung abgezinst wird:
- Handelt es sich hierbei um einen Anlagezinssatz, so entspricht der Barwert dem Wert, den ein Investor in der Gegenwart anlegen muss, um in Zukunft aus dieser Anlage eine Zahlung entsprechend $Z T$ zu bekommen.
- Ist r ein Verschuldungszinssatz, so entspricht der Barwert der Höhe des Kredits, den ein Kreditnehmer mit den $Z T$ -Einzahlungen tilgen kann.

Die einfachste Formel für die Berechnung des Barwerts lautet:
$PV(Z_T) = \frac{Z_T}{(1+r_T)^T}$

Sie gilt für genau eine Zahlung, die T Jahre in der Zukunft liegt. Zudem wird von einem gleichbleibenden Zinssatz r ausgegangen.

Beispiel

A möchte sich in vier Jahren ein neues Auto kaufen, das dann 30 000 € kosten wird. Er möchte bereits heute wissen, wie viel Geld er anlegen muss, wenn er mit einer Verzinsung von 6 % rechnen kann.

Lösung: $PV(30000) = \frac{30000}{(1+0,06)^4} = 23762{,}81$

Barwert bei unterjähriger Verzinsung

Bei der Bildung eines Barwertes kann es mitunter vorkommen, dass pro Periode mehrere Zahlungen erfolgen, welche abgezinst werden müssen. Dazu kommt es z.B., wenn Zinsforderungen des Investors halbjährlich bedient werden.

Bei m Zinszahlungen im Jahr über einen Zeitraum von T Jahren muss der Barwert des am Ende zufließenden Betrages $Z T$ lauten: $PV(Z_T) = \frac{Z_T}{\left( 1+\frac{r_T}{m}\right) ^{Tm}}$

Barwert einer Annuität

Erläuterung

Als Annuität (oder Rente) bezeichnet man in der Finanzmathematik eine gleichbleibende regelmäßige Zahlung. Wird diese Zahlung nicht auf einen Zeitraum beschränkt, sondern fließt unbegrenzt lange zu, spricht man von einer unendlichen Rente (auch "perpetuity"). Für beide Fälle lassen sich die jeweiligen Barwerte berechnen, wobei bei längeren Zeiträumen die Barwerte für endliche und unendliche Zahlungsströme fast identisch sein können.

Barwert des Betrages Z, der m-mal im Jahr auf unbeschränkte Dauer zufließt (r = Zinssatz): $PV(Z) = \frac{Zm}{r}$
Barwert des Betrages Z, der N Jahre m-mal pro Jahr zufließt: $PV(Z) = Z \Bigg[\frac{m}{r} - \frac{1}{\frac{r}{m}\big(1 + \frac{r}{m}\big)^{Nm}}\Bigg]$

Beispiel

Der Sohn verpflichtet sich vertraglich, seiner 60-jährigen Mutter bis an ihr Lebensende eine monatliche Rente von 500 Euro zu zahlen. Alternativ könnte er den Betrag aber auch zu einem (gleichbleibenden) Zinssatz von 5 % anlegen. Der Barwert entspricht in diesem Beispiel der abgezinsten Summe aller einzelnen Zahlungen an die Mutter.

Berechnung (Lebenserwartung der Mutter: 80 Jahre, vgl. auch versicherungsmathematischer Barwert):

$PV(500) = 500 \Bigg[\frac{12}{0,05} - \frac{1}{\frac{0,05}{12}\big(1 + \frac{0,05}{12}\big)^{20\cdot{}12}}\Bigg] = 75762{,}66$

Versicherungsmathematischer Barwert

Der versicherungsmathematische Barwert ist eine Verallgemeinerung des finanzmathematischen Barwerts. Wo Letzterer den Wert, den zukünftig anfallende Zahlungen in der Gegenwart besitzen, (nur) unter Berücksichtigung der Abzinsung darstellt, fließen beim versicherungsmathematischen Barwert auch noch statistische bzw. stochastische Größen wie (Sterbewahrscheinlichkeiten) und ähnliches ein.

Der versicherungsmathematische Barwert einer Leibrente zum Beispiel ist die Summe aller möglichen zukünftigen Rentenzahlungen (einschließlich möglicher Hinterbliebenenrentenzahlungen nach dem Tode des Rentenempfängers), jeweils mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens gewichtet und auf den Berechnungszeitpunkt abgezinst.

Bemerkung

Der Barwert ist bei einem positiven Rechnungszins stets endlich, selbst bei einer ewigen Rente!

Siehe auch

Gordon-Formel · Wert eines Goldesels · CBL · Formelsammlung Wirtschaft

Barwert

Barwert einer einzigen Zahlung

Erläuterung

Beispiel

Barwert bei unterjähriger Verzinsung

Barwert einer Annuität

Erläuterung

Beispiel

Versicherungsmathematischer Barwert

Bemerkung

Siehe auch

See also: Barwert, Abzinsung, Annuität, Bewertung, CBL, Finanzmathematik, Formelsammlung Wirtschaft, Gordon-Formel, Investor, Kredit