Beschränktheit
Der Begriff der Beschränktheit tritt in verschiedenen Bereichen der Mathematik auf, in denen man einen Begriff der "Größe" hat. Die grundlegende intuitive Bedeutung aller dieser Begriffe ist, dass ein beschränktes Objekt eine endliche Größe hat und kleiner als ein anderes Objekt endlicher Größe ist (anderenfalls ist es unbeschränkt).
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Analysis
thumb|Beschränktheit graphisch thumb|Beschränktheit graphisch
Eine Menge S reeller Zahlen heißt nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl k
mit k > s für alle s aus S gibt. Die Zahl k heißt obere Schranke von S.
Die Begriffe nach unten beschränkt und untere Schranke sind ähnlich definiert.
Eine Menge S heißt beschränkt, wenn sie nach oben beschränkt und nach unten beschränkt ist. Folglich ist eine Menge beschränkt, wenn sie in einem endlichen Intervall liegt.
Im Falle ihrer Existenz nennt man die kleinste obere Schranke das Supremum von S, die größte untere Schranke das Infimum.
Eine Funktion f : X -> R heißt beschränkt auf X, wenn ihre Bildmenge f(X) eine beschränkte Teilmenge von R ist.
Metrische Räume
Eine Menge S aus einem metrischen Raum (M, d) heißt beschränkt, wenn sie in einer Kugel mit endlichem Radius enthalten ist, d.h. wenn ein x aus M und r > 0 existieren, so dass für alle s aus S gilt: d(x, s) < r.
Funktionalanalysis
Beschränkte Mengen in topologischen Vektorräumen
Eine Teilmenge S eines topologischen Vektorraums V heißt beschränkt, wenn sie in einem Vielfachen jeder Umgebung der 0 enthalten ist.
Beschränkte Abbildungen
Sind V und W normierte Räume, so heißt eine Abbildung T: V -> W beschränkt, falls eine Konstante c>0 existiert, so dass ||Tx|| ≤ c·||x|| für alle Vektoren x aus V (siehe auch Operatornorm). Man kann zeigen, daß jeder beschränkte lineare Operator stetig ist.