Besselsche Differentialgleichung

Die Besselsche Differentialgleichung ist eine spezielle gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung. Sie ist benannt nach Friedrich Wilhelm Bessel, einem deutschen Astronom und Mathematiker. Die Differentialgleichung hat folgende Form:

x 2 y'' + x y' + (x 2 - n 2) y = 0.

Dabei ist n eine beliebige, positive Zahl.

Bessel-Funktionen

Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung heißen Bessel-Funktionen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Physik, z.B. bei der Untersuchung der Eigenschwingungen einer kreisförmigen Membran. Sie treten insbesondere in zylindersymmetrischen Geometrien auf (zum Beispiel: Eigenschwingungen eines Paukenfells, Intensität nach Lichtbeugung an kreisförmigen Löchern). Man zählt die Bessel-Funktionen zu den speziellen Funktionen.

Die Reihendarstellung der k-ten Bessel-Funktion lautet

$J_k(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m (\frac{x}{2})^{2m+k}}{(m+k)!m!}$

Weiterhin erfüllen Bessel-Funktionen folgende Eigenschaften

$J_{k-1}(x) + J_{k+1}(x) = \frac{2k}{x} J_k(x)$

$J_{k-1}(x) - J_{k+1}(x) = 2\frac{\partial}{\partial x} J_k(x)$

Weblinks

http://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html

Besselsche Differentialgleichung

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See also: Besselsche Differentialgleichung, Astronom, Beugungsscheibchen, Eigenschwingung, Friedrich Wilhelm Bessel, Gewöhnliche Differentialgleichung, Mathematiker, Membran, Spezielle Funktionen