Beweis

Ein Beweis ist die Darlegung der Richtigkeit (Verifikation) oder Unrichtigkeit (Falsifikation) einer Aussage oder eines Urteils mittels empirischer oder logischer Methoden.

Es sind zwei grundlegende Formen der Beweisführung zu unterscheiden:

Induktiver oder empirischer Beweis

Der induktive Beweis wird anhand von Beobachtungen und Erfahrungen geführt und kann daher grundsätzlich keine absolute Gewissheit über den Wahrheitsgehalt einer Aussage über eine unbestimmte oder unendlich große Menge verschaffen. Für endliche Mengen ist unter bestimmten Umständen eine Untersuchung jedes einzelnen Elements möglich. (Beispiel: Für die Aussage: Die drei Schwäne im Zoo sind weiß ist einfaches Nachsehen ausreichend. Lange Zeit wurde auch die Aussage "Alle Schwäne sind weiß" durch Beobachtung ausnahmslos bestätigt, konnte also als bewiesen gelten. Infolge der Entdeckung Australiens wurde diese Aussage widerlegt - dort fand man schwarze Schwäne.) Der induktive Beweis wird vor allem in der Rechtsprechung und den Erfahrungswissenschaften angewendet.

Deduktiver oder axiomatischer Beweis

Der deduktive Beweis ist die Ableitung eines Urteils aus als wahr geltenden Voraussetzungen (Prämissen), Axiomen oder Definitionen nach festen logischen Schlussregeln. Der deduktive Beweis führt innerhalb des ihm zugrundeliegenden Systems zu einer endgültigen Entscheidung über die Richtigkeit einer Aussage. (Beispiel: Der Satz des Pythagoras ist innerhalb der euklidischen Geometrie wahr und unwiderlegbar.) Der deduktive Beweis wird vor allem in der Logik und der Mathematik angewendet.

Der indirekte Beweis (Reductio ad absurdum) ist eine Form des deduktiven Beweises im Rahmen der zweiwertigen Logik. Er besteht im Nachweis eines logischen Widerspruchs, der aus der Annahme des Gegenteils der zu beweisenden Aussage folgt. (Beispiel: Aus der Annahme, die Quadratwurzel von 2 wäre als Bruch darstellbar, also rational, folgt ein Widerspruch zum Fundamentalsatz der Arithmetik, daher muss sie irrational sein.) Als Alibi kommt der indirekte Beweis auch in den Rechtswissenschaften vor.

Ein Paradoxon liegt vor, wenn man eine Aussage und gleichzeitig auch die Negation dieser Aussage beweisen kann, was (zumindest in der zweiwertigen Logik) ein Widerspruch ist. (Beispiel: "Russells Barbier" - In Sevilla wird ein Mann genau dann vom Barbier von Sevilla rasiert, wenn er sich nicht selbst rasiert. Rasiert sich der Barbier selbst?) Paradoxien zeigen, dass das ihnen zugrundeliegende logische System unvollständig ist und präzisiert werden muss. Gödel hat allerdings bewiesen, dass Vollständigkeit prinzipiell nicht zu erreichen und die Widerspruchsfreiheit eines (genügend komplexen) Systems innerhalb dieses Systems unbeweisbar ist. Das heißt also, dass es Aussagen gibt, von denen weder eindeutig bewiesen werden kann, dass sie wahr sind, noch, dass sie falsch sind.

Analogieschluss

Der Analogieschluss (Analogismus) ist streng genommen kein Beweis - er besteht im Schluss auf die ungewissen Teile eines nicht vollständig bekannten Systems aus der Kenntnis eines ähnlichen, aber vollständig bekannten. Er ist daher vor allem ein Instrument zur Hypothesenbildung. (Beispiel: Das Periodensystem der Elemente, das auf Analogieschlüssen beruht, aber erst durch die Quantenphysik als richtig bestätigt wurde.)

Der Analogieschluss ist auch strenggenommen ein Beweis, wenn die beiden Systeme (das abbildende und das abgebildete System) einander isomorph sind (zumindest in dem entsprechenden Teilbereich, für den der Beweis geführt wird) und entsprechende Transformationsregeln beachtet werden.

siehe auch: Analogiebeweis, Analogismus

Geschichte

Die Methode des Beweises wurde zuerst in der Geometrie durch Euklid und in der Philosophie durch Platon angewendet. Die erste Beweistheorie stammt von Aristoteles. (Noch zu ergänzen: Hinweise auf René Descartes, Karl Popper, David Hilbert, Bertrand Russell, Kurt Gödel ...)

Der deutsche, ursprünglich aus der Rechtsprechung kommende Begriff "Beweis" ist seit dem 17. Jahrhundert auch im philosophischen und mathematischen Zusammenhang zu finden.

Beweis in den Wissenschaften

Zu dem, was in einzelnen Disziplinen als Beweis anerkannt wird, siehe

Zitat

Extraordinary claims require extraordinary evidence. / Außergewöhnliche Behauptungen erfordern außergewöhnliche Beweise. (David Hume)