Bijektivität

Bijektivität (bijektiv oder umkehrbar eindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion.

Eine bijektive Funktion ist eine Funktion, die verschiedene Elemente ihres Definitionsbereichs auf verschiedene Elemente der Zielmenge abbildet (sie ist injektiv), und für die zusätzlich jedes Element der Zielmenge als Bild auftritt (sie ist surjektiv). Eine bijektive Funktion hat daher immer eine vollständig definierte Umkehrfunktion.

Für endliche Mengen haben die Definitionsmenge, die Bildmenge und die Zielmenge einer bijektiven Funktion dieselbe Anzahl von Elementen. Umgekehrt ist eine Funktion zwischen endlichen Mengen bijektiv, wenn diese drei Zahlen übereinstimmen.

Im Fall unendlicher Mengen ist die entsprechende Aussage falsch. Dennoch definiert man die Mächtigkeit von Mengen als Verallgemeinerung der Elementanzahl mithilfe des Begriffes der Bijektion.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition 2 Darstellungsformen 3 Beispiele und Gegenbeispiele 4 Vergleich

Definition

Sei f eine Funktion von X nach Y.

f ist bijektiv, wenn für alle genau ein mit f(x) = y existiert.
(genau eins bedeutet eins und nur eins)

alternativ:

f ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Darstellungsformen

Mengenkasten Mengenkasten Mengenwolke

Beispiele und Gegenbeispiele

• Ein einfaches mathematisches Beispiel ist die Funktion , deren Umkehrfunktion ist, ebenso für die Funktion , mit der Umkehrfunktion .
• Unmathematisches Beispiel: die "Funktion", die jedem (monogam) verheirateten Menschen seinen Ehepartner bzw. seine Ehepartnerin zuordnet, ist "bijektiv" von der Menge aller verheirateten Menschen auf sich selbst.

• Sind A und B endliche Mengen mit gleich vielen Elementen, dann ist eine injektive Abbildung von A nach B bereits bijektiv, ebenso ist eine surjektive Abbildung schon bijektiv.
  Für unendliche Mengen muss das nicht gelten. Unendliche Mengen können z.B. injektiv auf echte Teilmengen abgebildet werden, ebenso gibt es surjektive Abbildungen einer unendlichen Menge in sich selbst, die nicht injektiv sind.
  Solche Überraschungen werden im Artikel Hilberts Hotel detaillierter beschrieben, siehe dazu auch Dedekind-Unendlichkeit.

• Ein konkretes Beispiel (die Abbildung f(x) = x² mit verschiedenen Definitions- und Wertebereichen) gibt der Artikel Injektivität.

Vergleich

Injektivität, Surjektivität

See also: Bijektivität, Bildmenge, Dedekind-Unendlichkeit, Definitionsbereich, Definitionsmenge, Ehe, Funktion (Mathematik), Hilberts Hotel, Injektivität, Mensch