Braess-Paradoxon

Das Braess-Paradoxon ist (ebenso wie das Gefangenendilemma) eine Veranschaulichung negativer Nash-Gleichgewichte. Es wurde 1968 von dem Mathematiker Dietrich Braess veröffentlicht. Es zeigt, wie der Bau einer zusätzlichen Straße ( = Kapazitätserhöhung) dazu führen kann, dass ohne zusätzliches Verkehrsaufkommen alle Autofahrer länger unterwegs sind ( = Reduktion des Gesamtflusses). Das im Folgenden präsentierte Zahlenbeispiel ist aus dem Straßenverkehr genommen, die grundlegenden mathematischen Zusammenhänge sind jedoch allgemeinerer Natur, so dass die Grundaussagen auch auf andere komplexe Systeme übertragen werden können.

Inhaltsverzeichnis
1 Erläuterung anhand des original Zahlenbeispieles

1.1 Szenario vor dem Bau der zusätzlichen Straße
1.2 Szenario nach dem Bau der zusätzlichen Straße

1.2.1 Diskussion

2 Weblinks

Erläuterung anhand des original Zahlenbeispieles

Szenario vor dem Bau der zusätzlichen Straße

thumb|Bild 1: Skizze des Szenarios vor dem Bau der zusätzlichen Straße thumb|Bild 2: Optimale Situation. Die Ströme (in 1000 Autos pro Stunde) sind an den Strecken angegeben

Vier Städte (A,B,C und D) sind wie in der Skizze in Bild 1 gezeigt durch vier Straßen (1,2,3 und 4) verbunden.

Zwei der Straßen (2 und 4) sind gut ausgebaute Autobahnen, auf denen die übliche Verkehrsdichte so gering ist, dass die Fahrtdauer nur wenig von ihr abhängt. Die Autobahnen führen jedoch nur auf Umwegen zum Ziel.

Die Landstraßen führen auf direkterem Weg zum Ziel. Sie sind jedoch schlechter ausgebaut, so dass der über sie fließende Verkehrsstrom zu einem deutlich stärkeren Einfluss auf die Fahrtdauer führt als bei den Autobahnen.

Angenommene Fahrtdauern:

Hierbei ist J der Strom an Fahrzeugen auf der jeweiligen Straße.

Man betrachtet nun die Fahrzeuge und deren Fahrtdauern von A nach D. Der angenommene Gesamtstrom ist 6000 Fahrzeuge pro Stunde. Man kann an eine typische Pendlersituation denken. A ist der Arbeits- D der Wohnort. Die Situation wiederholt sich Tag für Tag. Jeder Fahrer kennt die Strecken und die typischen Verkehrsdichten. Änderungen der Routenwahl ergeben sich wenn überhaupt, immer nur in kleinen Anzahlen von Fahrern. Es ist offensichtlich, dass das Optimum (siehe Bild 2) erreicht wird, wenn jeweils die Hälfte (also 3000 pro Stunde) der Fahrzeuge die Strecke ABD und die Hälfte die Strecke ACD wählen. Die Fahrtdauern sind in diesem Fall auf beiden Strecken 83 Minuten. (detailierte Rechnung: T(AC) = T(BD) = 50 min + 3 min und T(CD) = T(AB) = 10 * 3 min und somit ergibt sich auf beiden Strecken die Fahrtdauer T = T(AC) + T(CD) = T(AB) + T(BD) = 83 min.)

Szenario nach dem Bau der zusätzlichen Straße

thumb|Bild 3: Skizze des Szenarios nach dem Bau der zusätzlichen Straße thumb|Bild 4: Optimale Situation mit Neubaustrecke. Die Ströme (in 1000 Autos pro Stunde) sind an den Strecken angegeben

Die verantwortlichen Politiker entschließen sich nach einiger Zeit wie in Bild 3 gezeigt, einen Tunnel durch den Berg oder eine Brücke über den See zwischen den Städten B und C zu bauen. Diese Neubaustrecke kann nur in der Richtung B -> C befahren werden.

Auf dieser zusätzlichen Strecke gilt für die Fahrtdauer T(BC) = 10 Minuten + J * Minuten / (tausend Fahrzeuge pro Stunde)

Diese Strecke ist also kurz und hat eine hohe Kapazität.

Auch hier gibt es ein Gleichgewicht (Bild 4), bei dem die Fahrtdauern auf allen Strecken gleich sind:

Die Fahrtdauer ist in diesem Fall für alle Fahrer gleich 92 Minuten und somit neun Minuten länger als ohne die Neubaustrecke.

Anschaulich betrachtet stellt sich jeweils für die Fahrer, welche eine der Autobahnen benutzen, der eine zwangsläufig zu benutzende Landstraßenabschnitt als Nadelöhr dar. Dort hängt die Geschwindigkeit des Verkehrsflusses stark von der Anzahl der Straßennutzer ab bzw. wird durch diese verringert. Der Straßenneubau bewirkt nun aber, dass einige Fahrer die Landstraße auf voller Länge nutzen und diese somit zusätzlich verstopfen - sie benutzen zusätzlich zur Neubauschnitte nun beide Landstraßenabschnitte und nicht nur einen, wie die Autobahnbenutzer. Nunmehr ist die Nadelöhrsituation extremer geworden, da auch die Autobahnbenutzer für ihren zwangsläufig genutzten Landstraßenabschnitt deutlich länger brauchen. In dem Beispiel kann die damit korrespondierende Verkehrsentlastung auf den kapazitätsstarken Autobahnen keinen ausgleichenden Zeitvorteil bewirken.

Diskussion

Man könnte nun vermuten, dass durch andere Routenwahlen einiger Fahrer eine bessere Situation entstünde. Dem ist jedoch nicht so. Ein Fahrer, der sich - sofern das geschilderte Gleichgewicht besteht - am nächsten Tag anders entscheidet, bewirkt durch seine Entscheidung, dass sich die Fahrtdauer auf der Strecke, für die er sich entscheidet - und damit für ihn selbst - verlängert. Auf seiner Vortagesstrecke hingegen verringert sich die Fahrtdauer für alle anderen. Dies ist freilich kein Kriterium, das einen Fahrer zur Änderung seiner Route bewegt. Der Einfachheit halber ändern im folgenden Zahlenbeispiel jeweils 1000 Fahrer ihre Route gegenüber dem Gleichgewicht:

Man beachte, dass auf allen Strecken mit 3000 Fahrern pro Stunde die Fahrtdauer länger als 92 Minuten ist.

Würden sich alle Fahrer verabreden die Neubaustrecke zu ignorieren und sich so zu verhalten, wie sie es taten, als es diese noch nicht gab, wäre die Fahrtdauer für alle Verkehrsteilnehmer wieder 83 Minuten. Jedoch wäre die Versuchung groß, die dann freie Neubaustrecke als einziger doch zu nutzen und so die eigene Fahrtdauer von 83 Minuten auf 70 Minuten zu reduzieren. Die übliche menschliche Verhaltensweise ist dann, es den Vertragsbrüchigen gleich zu tun. Das System tendiert somit wieder zum oben beschriebenen Gleichgewicht. Als Lösung dieses Dilemmas bleibt keine andere Möglichkeit, als die Neubaustrecke zentral geplant wieder abzureißen.

Ein ähnliches Problem ist das Eisverkäufer-am-Strand-Problem.

Weblinks

See also: Braess-Paradoxon, 1968, Anzahl, Autobahn, Autofahrer, Berg, Brücke, Dilemma, Eisverkäufer-am-Strand-Problem, Entscheidung