Cardanische Formeln

Die Cardanischen Formeln sind Formeln zur Lösung reduzierter kubischer Gleichungen und biquadratischer Gleichungen (Gleichungen 3. und 4. Grades). Sie sind benannt nach dem Mathematiker Cardano. Die cardanischen Formeln waren der Anlass für die Einführung der komplexen Zahlen, da man im Fall des Casus Irreducibilis vor dem Problem steht, aus einer negativen Zahl eine Quadratwurzel zu ziehen.

Inhaltsverzeichnis

1 Lösungsweg für kubische Gleichung

2 Ausführlicher Lösungsweg für kubische Gleichung

3 Ausführlicher Lösungsweg für biquadratische Gleichung

4 Ausblick: Die Lösung von Gleichungen fünften und höheren Grades

5 Literatur

Lösungsweg für kubische Gleichung

Reduktion der allgemeinen kubischen Gleichung $a x 3 + b x 2 + c x + d = 0$ zu einer Gleichung ohne quadratisches Glied $x 3 + p x + q = 0$ .
Substitution von x durch (u + v). Mit Hilfe des Satzes von Vieta ergibt sich eine quadratische Gleichung.
Lösung dieser quadratischen Gleichung und Resubstitution.

Ausführlicher Lösungsweg für kubische Gleichung

Kubische Gleichung: $a x 3 + b x 2 + c x + d = 0$

Durch Substitution mit

$p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2} ;\qquad q=\frac{d}{a}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}$

in die Form $x 3 + p x + q = 0$ bringen.

Lösung

Fall 1: $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}>0$

Eine reelle Lösung:

$x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{b}{3a}$

Fall 2: $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}=0$

Zwei reelle Lösungen:

$x_1=\sqrt[3]{\frac{q}{2}}-\frac{b}{3a}$

$x_2=-\sqrt[3]{4q}-\frac{b}{3a}$

Fall 3: $\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}<0$ (Casus irreducibilis)

Drei reelle Lösungen:

$x_1= 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{q}{2}\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)\right)-\frac{b}{3a}$

$x_{2,3}=-2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(-\frac{q}{2}\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)\pm\frac{\pi}{3}\right)-\frac{b}{3a}$

Ausführlicher Lösungsweg für biquadratische Gleichung

$a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0$

Substitution mit $p=\frac{3bd-c^2}{12a^2}-\frac{e}{a} ;\qquad q=\frac{8ce-3d^2}{24a^2}-\frac{27b^2e-9bcd+2c^3}{216a^3}$

z ist eine beliebige Lösung der Gleichung $z 3 + p z + q = 0$ .

Mit $y=z+\frac{c}{6a}$ ergibt sich:

Fall 1: $\frac{b}{a}y-\frac{d}{a}>0$

$x_{1,2,3,4}=-\frac{b}{4a}\pm\frac{1}{2}\sqrt{2y+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{b^2}{8a^2}-\frac{1}{2}y-\frac{c}{4a}\pm\left(\frac{b}{4a}\sqrt{2y+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}-\sqrt{y^2-\frac{e}{a}}\right)}$

Fall 2: $\frac{b}{a}y-\frac{d}{a}<0$

$x_{1,2}=-\frac{b}{4a}\pm\frac{1}{2}\sqrt{2y+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}-\sqrt{\frac{b^2}{8a^2}-\frac{1}{2}y-\frac{c}{4a}\pm\left(\frac{b}{4a}\sqrt{2y+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}+\sqrt{y^2-\frac{e}{a}}\right)}$

Ausblick: Die Lösung von Gleichungen fünften und höheren Grades

Für Gleichungen fünften oder höheren Grades gibt es keine allgemeinen Lösungsformeln auf Basis von Wurzel- und arithmetischen Operationen. Bewiesen wurde dies erstmals von Niels Henrik Abel, verallgemeinert wenig später von Evariste Galois (siehe Galoistheorie).

Neben Lösungsverfahren für spezielle Gleichungen kann man die Nullstellen über Iterationsverfahren bestimmen, z.B. dem Bairstow-Verfahren

Literatur

Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, Wiesbaden 2004, ISBN 3528131926, Einführung
Heinrich Dörrie: Kubische und biquadatische Gleichungen, München 1948
Ludwig Matthiessen: Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen, Leipzig 1896, Dokumenten-Server