Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, auch bekannt als Schwarzsche Ungleichung oder Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung, ist eine nützliche Ungleichung, die in vielen Bereichen der Mathematik verwendet wird, z.B. Lineare Algebra (Vektoren), Analysis (unendliche Reihen) und Integration von Produkten. Die Ungleichung sagt aus: Wenn x und y Elemente eines reellen oder komplexen Vektorraums mit innerem Produkt sind, dann gilt für das Skalarprodukt bzw. innere Produkt \langle x,y \rangle die Beziehung

\left|\langle x,y \rangle\right|^2 \leq \langle x, x\rangle \cdot \langle y,y\rangle,

oder unter Verwendung der Norm \|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}

\left|\langle x,y \rangle\right|^2 \leq \|x\|^2 \cdot \| y\|^2.

Beide Seiten sind genau dann gleich, wenn x und y linear abhängig sind.

Auf quadratische Matrizen angewandt, erhält man für die Spur:

\vert\mathrm{Spur}(ab^*)\vert\leq(\mathrm{Spur}(aa^*))^{\frac{1}{2}}(\mathrm{Spur}(bb^*))^{\frac{1}{2}}

Auf euklidische Räume \mathbb{R} angewandt, erhält man:

\left(\sum x_i \cdot y_i\right)^2 \leq \left(\sum x_i^2\right) \cdot \left(\sum y_i^2\right)

Im Fall quadratisch integrierbarer komplexwertiger Funktionen erhält man:

\left|\int f \cdot \overline{g}\, dx\right|^2 \leq \left(\int \left|f\right|^2\, dx\right) \cdot \left(\int \left|g\right|^2\, dx\right)

Die beiden letzten Ungleichungen werden durch die Hölder-Ungleichung verallgemeinert.

Im dreidimensionale Raum lässt sich die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung zu einer Gleichung verschärfen:

\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle = |\langle x,y\rangle|^2 + |x \times y|^2.

Benannt ist die Ungleichung nach Augustin Louis Cauchy, Wiktor Jakowlewitsch Bunjakowski und Herrmann Amandus Schwarz. Historisch wurde die Ungleichung erstmals 1859 von Bunjakowski in einer Arbeit über Ungleichungen zwischen Integralen veröffentlicht; Schwarz veröffentlichte seine Arbeit erst 50 Jahre später.

Inhaltsverzeichnis

Anwendungen

In einem Vektorraum mit innerem Produkt lässt sich aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung die Dreiecksungleichung für \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle} ableiten, und damit in weiterer Folge zeigen, dass durch das innere Produkt eine Norm definiert wird.

Eine weitere Folgerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist, dass das innere Produkt eine stetige Funktion ist.

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung stellt sicher, dass im Ausdruck cos \phi = \frac{\langle x,y\rangle}{\|x\| \cdot \|y\|} der Bruch stets betragsmäßig kleiner gleich 1 ist, sodass also φ berechnet werden kann und damit der Winkel auf beliebige Räume mit innerem Produkt verallgemeinert werden kann.

In der Physik wird die Cauchy-Schwarzschen Ungleichung bei der Herleitung der Heisenbergsche Unschärferelation verwendet.

Beweis

Beweis aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

Ein Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung kann beispielsweise mit Hilfe der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel erfolgen:

Definiert man für i=1,\dots,n die Werte \xi_i:=|x_i|/\sqrt{\sum_i x_i^2} und \eta_i:=|y_i|/\sqrt{\sum_i y_i^2}, so ergibt sich aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Beziehung

\sum_i \xi_i\eta_i = \sum_i \sqrt{\xi_i^2\eta_i^2} \leq \sum_i (\xi_i^2/2 + \eta_i^2/2) = 1

Daraus folgt unmittelbar die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Beweis aus der Umordnungs-Ungleichung

Ein anderer Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ergibt sich aus der Umordnungs-Ungleichung. Setzt man S=\sqrt{\sum_i x_i^2} und T=\sqrt{\sum_i y_i^2} sowie \xi_i=\frac{x_i}{S} und \xi_{n+i}=\frac{y_i}{T} so gilt

2=\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{S^2}+\sum_{i=1}^n \frac{y_i^2}{T^2}=\sum_{i=1}^{2n} \xi_i^2.

Wegen der Umordnungs-Ungleichung ist nun

\sum_{i=1}^{2n} \xi_i^2 \geq \xi_1\xi_{n+1}+ \xi_2\xi_{n+2} \dots \xi_n\xi_{2n} + \xi_{n+1}\xi_{1} + \xi_{n+2}\xi_{2} + \dots \xi_{2n}\xi_n.

Zusammengefasst erhält man also

2\geq\frac{2\sum_{i=1}^{n} x_i y_i}{ST}

wobei dieses Ergebnis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung entspricht.

Beweis für Skalarprodukt

Die oben angegebenen Beweise beweisen nur den Speziallfall der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung in euklidischen Räumen. Der Beweis für den allgemeinen Fall des Skalarprodukts in einem Vektorraum mit innerem Produkt ist aber simpel.

Reeller Fall

Der Fall y = 0 ist einfach zu behandeln, es sei also \langle y,y \rangle\neq 0. Für jedes \lambda \in \mathbb{R} gilt

0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle  = \langle x-\lambda y,x \rangle - \lambda \langle x-\lambda y,y \rangle = \langle x,x \rangle -2\lambda \langle x,y \rangle + \lambda^2 \langle y,y \rangle.

Wählt man nun speziell \lambda = \langle x,y \rangle \cdot \|y\|^{-2} so ergibt sich

0 \leq \|x\| ^2 - \langle x,y \rangle^2 \cdot \|y\|^{-2},

also

\langle x,y \rangle^2 \leq \|x\|^2 \|y\|^2.

Ziehen der Quadratwurzel ergibt nun genau die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

\big| \langle x,y \rangle \big| \leq \|x\| \|y\|.

Komplexer Fall

Der Beweis im komplexen Fall verläuft ähnlich, allerdings ist zu beachten, dass das Skalarprodukt in diesem Fall keine Linearform, sondern eine Hermitesche Form ist. Für jedes \lambda \in \mathbb{C} gilt

0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle  = \langle x-\lambda y,x \rangle - \overline{\lambda}\langle x-\lambda y,y \rangle = \langle x,x \rangle -\lambda \overline{\langle x,y \rangle} - \overline{\lambda} \langle x,y \rangle + \big|\lambda\big|^ 2\langle y,y \rangle.

Auch hier führt nun die spezielle Wahl \lambda = {\langle x,y \rangle} \cdot \|y\|^{-2} auf

0 \leq \|x\| ^2 - \big|\langle x,y \rangle\big|^2 \cdot \|y\|^{-2},

also

\big|\langle x,y \rangle\big|^2 \leq \|x\|^2 \|y\|^2.

Literatur

See also: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, 1859, Analysis, Augustin Louis Cauchy, Dreiecksungleichung, Euklidischer Raum, Heisenbergsche Unschärferelation, Hermitesche Form, Herrmann Amandus Schwarz, Hölder-Ungleichung