Cent (Musik)

Das Cent (abgekürzt: C) ist ein übliches Maß für musikalische Intervalle. 1 Cent ist ein Zwölfhundertstel einer Oktave und damit (in gleichstufig-temperierter Stimmung) ein Hundertstel eines Halbtons. (Daher der Name.)

Inhaltsverzeichnis
1 Historisches
2 Vorteil gegenüber Frequenzangaben
3 Mathematische Betrachtung

3.1 Beispiel

4 Weblinks

Historisches

Die Bezeichnung Cent wurde von dem Engländer Alexander John Ellis (1814-1890) vorgeschlagen und erschien im Anhang zu seiner Übersetzung von Hermann von Helmholtz' On the Sensations of Tone (1875), auf Deutsch: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik.

Intervallberechnungen wurden bereits um 1640 von Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647), Juan Caramuel y Lobkowicz (1606-1682), und Lemme Rossi mit Hilfe von Logarithmen durchgeführt.

Vorteil gegenüber Frequenzangaben

Das „musikalische Ohr“ empfindet Intervalle mit gleichem Frequenzverhältnis als gleich groß. Werden mehrere solche Intervalle aneinander gereiht, so müssen ihre Verhältniswerte multipliziert werden, um das Frequenzverhältnis des gesamten Intervalls zu erhalten (siehe Tabelle).

Der Vorteil eines „linearen“ Maßes (wie Cent) liegt darin, dass Intervallgrößen einfach addiert werden können. Das entspricht auch dem Empfinden des Hörers.

Intervall Cent-Wert Frequ.verh. Quotient
1 Oktave 1200 C 1:2 1   (= 2/1)
2 Oktaven 2400 C 1:4 4   (= 4/1)
3 Oktaven 3600 C 1:8 8   (= 8/1)
4 Oktaven 4800 C 1:16 16   (= 16/1)
Intervall Cent-Wert Frequ.verh. Quotient
1 Quarte 498 C 3:4 1,33   (= 4/3)
2 Quarten 996 C 9:16 1,78   (= 16/9)
3 Quarten 1494 C 27:64 2,37   (= 64/27)
4 Quarten 1992 C 81:256 3,16   (= 256/81)

Anm.: Die temperierte Quarte hat 500 C, die reine Quarte (3:4) dagegen nur 498,045 C.

Mathematische Betrachtung

Die Oktave hat ein Frequenzverhältnis von 1:2. Der Quotient (2/1 =) 2 soll in 1200 gleiche Faktoren zerlegt werden. Jeder dieser Faktoren hat den Wert 2 hoch 1/1200 (also 1200ste Wurzel aus 2) = 1,0005777895.

1 Cent entspricht einem Frequenzverhältnis von 1:1,0005777895, 2 Cent 1:1,0005777895 hoch 2, 3 Cent 1:1,0005777895 hoch 3 usw., und 1200 Cent entsprechen 1:1,0005777895 hoch 1200, was dasselbe ist wie 1:2 (nämlich die Oktave).

Cent = 1200 * {\frac{\log Quotient}{\log 2}}
(Aus Sicht der Frequenzverhältnisse sind Intervalle logarithmisch.)
Quotient = 2^{\frac{Cent}{1200}}
(Aus Sicht der Intervalle sind Frequenzverhältnisse exponentiell.)

Anm.: log Quotient / log 2 ist dasselbe wie log2 Quotient, wobei log2 bedeutet: Logarithmus zur Basis 2. Da auf Taschenrechnern allenfalls Logarithmen zur Basis 10 (log) oder zur Basis e ≈ 2,718 (ln) zu finden sind, ist die oben angegebene Formel praxisnäher. Der verwendete Logarithmus ist beliebig (log oder ln), er muss nur innerhalb der Formel einheitlich sein.

Die obige Formel zur Intervallberechnung aus Quotient und Basis erlaubt prinzipiell eine zweite Umkehrung:

Basis = \sqrt[\frac{Cent}{1200}]{Quotient}

Diese wird hier nicht benötigt, da sich das Cent immer auf die Oktave (1:2) bezieht und deshalb nur Basis 2 in Frage kommt.

Beispiel

Umrechnung
Frequenz  ->  Intervall Intervall  ->  Frequenz
 Gr. Terz:      1200 C * log(5/4) / log(2) = 386 C      2 (386 / 1200)  = 1,25   (= 5/4)   
 Kl. Terz:   1200 C * log(6/5) / log(2) = 316 C   2 (316 / 1200)  = 1,2   (= 6/5)
 Quinte:   1200 C * log(3/2) / log(2) = 702 C   2 (702 / 1200)  = 1,5   (= 3/2)

Siehe auch: Gleichstufige Stimmung

Weblinks

See also: Cent (Musik), 1598, 1606, 1647, 1682, Bonaventura Francesco Cavalieri, Dekadischer Logarithmus, Eulersche Zahl, Exponentiell