Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen.

Im allgemeinen ist mit "Chi-Quadrat-Verteilung" die zentrale Chi-Quadrat-Verteilung gemeint. Ihr einziger Parameter n muss eine natürliche Zahl sein und heißt ihre Freiheitsgrade. Die Chi-Quadrat-Verteilung ist die Verteilung der Summe

$X=Z_1^2 + \ldots + Z_n^2$

von n unabhängigen quadrierten standardnormalverteilten Zufallsvariablen, in symbolischer Notation: Wenn

$Z_k\sim \mathcal{N}(0,1) \quad (k=1,\ldots,n)$

und unabhängig sind, dann gilt

$X\sim\chi^2(n).$

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine so genannte Stichprobenverteilung, die bei der Schätzung von Verteilungsparametern, beispielsweise der Varianz, Anwendung findet.

Inhaltsverzeichnis

1 Dichte- und Verteilungsfunktion

1.1 Zusammenhang mit anderen Verteilungen

1.1.1 Aproximation durch die Normalverteilung
1.1.2 Verwandtschaft mit der Exponentialverteilung

2 Eigenschaften

3 Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung

4 Summe χ²-verteilter Zufallsvariablen

5 Bild der Dichtefunktion

Dichte- und Verteilungsfunktion

Die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung ist

$f(x)= \frac{x^{\frac{n}{2}-1}}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \exp \left(-\frac{x}{2}\right) \quad 0 < x <\infty$

und ihre Verteilungsfunktion

$F(x)= \Gamma \left(\frac{n}{2},\frac{x}{2}\right).$

Dabei steht $Γ(z)$ für die Gammafunktion und $Γ(a, z)$ für die regularisierte unvollständige Gammafunktion.

Dementsprechend ist die Chi-Quadrat-Verteilung ein Spezialfall der Gammaverteilung. Ist $X\sim \chi^2(n)$ , so gilt

$X \sim \Gamma\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right)$ </center>

Zusammenhang mit anderen Verteilungen

Aproximation durch die Normalverteilung

Gilt n ≥ 30, ist

$Z = \sqrt{2X} - \sqrt{2n-1}$

näherungsweise standardnormalverteilt.

Für $n > 100$ ist die Zufallsvariable X näherungsweise normalverteilt mit $\mathcal{N}\left( \mu = n, \sigma=\sqrt{2n}\right) \;$ , wobei μ bzw. σ Erwartungswert und Standardabweichung darstellen.

Verwandtschaft mit der Exponentialverteilung

Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit 2 Freiheitsgraden ist eine Exponentialverteilung mit dem Parameter λ=1/2. Dementsprechend ist eine Chi-Quadrat-Verteilung mit 2 n Freiheitsgraden Erlang-verteilt mit n Freiheitsgraden und λ=1/2.

Eigenschaften

Der Erwartungswert der Chi-Quadrat-Verteilung ist $n$ .

Die Varianz der Chi-Quadrat-Verteilung ist $2 n$ .

Der Modus der Chi-Quadrat-Verteilung ist $n - 2$ für $n\ge 2$ .

Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung

Wenn die normalverteilten Zufallsvariablen nicht bezüglich ihres Erwartungswertes μ_i (i = 1, ... , n) zentriert sind, erhält man die nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung. Sie hat als zweiten Parameter neben n den Nichtzentralitätsparameter

$\lambda = \sum_{i=1}^n {\mu_i}^2$ .

Summe χ²-verteilter Zufallsvariablen

Sind $X 1, X 2,..., X n$ unabhängige Zufallsvariablen, mit $X_i\sim\chi^2(\nu_i)$ , so gilt:

$\sum_{i=1}^n X_i \sim\chi^2(\sum_{i=1}^n \nu_i)$

Bild der Dichtefunktion

Dichte der Chi-Quadrat-Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden

20px Wikibooks: Tabelle der χ²-Verteilung