Differentialgeometrie
Die Differentialgeometrie stellt als Teilgebiet der Mathematik die Synthese von Analysis und Geometrie dar.
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Teilgebiete
Klassische Differentialgeometrie
Die elementare Differentialgeometrie beschäftigt sich mit Kurven und Flächen im dreidimensionalen Anschauungsraum und ihren Krümmungseigenschaften. Zu den klassischen Studienobjekten gehören beispielsweise die Minimalflächen, die in der Natur als Formen von Seifenhäuten entstehen.
Moderne Differentialgeometrie
Die abstrakte Differentialgeometrie entsteht aus der intrinsischen Beschreibung geometrischer Objekte, d.h. der Beschreibung ohne Rückgriff auf einen umgebenden Raum. Der zentrale Begriff ist der der differenzierbaren Mannigfaltigkeit: eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist ein geometrisches Objekt (genauer: ein topologischer Raum), der lokal in etwa aussieht wie der n-dimensionale reelle Raum. Das klassische Beispiel, das auch die Terminologie motiviert, ist die Erdoberfläche: In kleine Ausschnitten lässt sie sich durch Karten beschreiben, d.h. kleine Teile "sehen aus wie" die Ebene. Um aber ein Gesamtbild der Erde zu erhalten, müssen noch die Kartenwechsel beschrieben sein: welche Teile zweier Karten entsprechen sich? Das Attribut differenzierbar bezieht sich nun darauf, dass diese Kartenwechsel differenzierbare Abbildungen sein sollen. Das ermöglicht es, von differenzierbaren Funktionen auf der Mannigfaltigkeit zu sprechen, und die Analysis wird gewissermaßen zur lokalen Theorie, deren globale Entsprechung die Differentialgeometrie ist.
Riemannsche Geometrie
Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit gibt es keine vordefinierte Längenmessung. Ist sie als zusätzliche Struktur gegeben, spricht man von riemannschen Mannigfaltigkeiten. Sie sind Gegenstand der riemannschen Geometrie, die auch die sich aus dieser Struktur ergebenden Begriffe der Krümmung, der kovarianten Ableitung und der Parallelverschiebung untersucht.
Differentialtopologie
Die Differentialtopologie benutzt Mittel der Differentialgeometrie und der Topologie zum Studium topologischer Eigenschaften der betrachteten Mannigfaltigkeiten.
Theorie der Liegruppen
So wie Gruppen auf Mengen basieren, sind Mannigfaltigkeiten die Grundlage der Liegruppen. Liegruppen treten an vielen Stellen der Mathematik und Physik als Gruppen kontinuierlicher Symmetrien auf, beispielsweise als Drehungen des Raumes. Das Studium des Transformationsverhaltens von Funktionen unter Symmetrien führt zur Darstellungstheorie der Liegruppen.
Anwendungsgebiete
Anwendung findet die klassische Differentialgeometrie in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Sie ermöglicht die Voraussage von Phänomenen, die durch das Experiment bestätigt werden (Lichtablenkung, Periheldrehung des Merkur).
Koordinatentransformationen entsprechen in der Relativitätstheorie Wechsel von Bezugssystemen, aus denen heraus ein Phänomen beobachtet wird. Dies entspricht unterschiedlichen Sichtweisen auf ein Ereignis.
Die klassische Differentialgeometrie wurde auch schon früher in der Geodäsie und Kartographie angewendet. Beispiel ist hier unter anderem die Kartenprojektionslehre aus der die Begriffe geodätische Linie und Gauß'sche Krümmung stammen.
Methoden
Koordinatentransformationen
Koordinatentransformationen sind ein wichtiges Werkzeug der Differentialgeometrie, um die Anpassung einer Problemstellung an geometrischen Objekte zu ermöglichen.
Will man Abstände auf einer Kugeloberfläche untersuchen, so wird man Kugelkoordinaten verwenden, betrachtet man euklidische Abstände im Raum, so verwendet man kartesische Koordinaten.
Ein einfacheres Beispiel ist der Übergang von kartesischen Koordinaten in der Ebene zu Polarkoordinaten, mit denen man eine Kreislinie einfacher beschreiben kann.
- f(r,Φ) = (rcosΦ,rsinΦ) = (x,y)
Die Koordinaten (x,y) berechnen sich aus (r,Φ) folgendermaßen:
- x(r,Φ) = rcosΦ
- y(r,Φ) = rsinΦ
x und y werden auch als Komponentenfunktionen von f bezeichnet. Hierfür lassen sich die (totalen) Differentiale angeben:
Man bezeichnet dx,dy,dr, dφ als Koordinatendifferentiale. Bei diesem Beispiel fällt die Bedeutung von d als Differentialoperator mit der Bedeutung eines infinitesimalen Abstandes zusammen.
Kugelkoordinaten werden auch als krummlinige Koordinaten bezeichnet, da sie die Abstandberechnung auf einer gekrümmten Fläche, der Kugeloberfläche, ermöglichen.
Ein wesentliches Hilfsmittel der klassische Differentialgeometrie sind Koordinatentransformationen zwischen beliebigen Koordinaten, um geometrische Strukturen beschreiben zu können. Oft werden krummlinige Koordinaten verwendet.
Die aus der Analysis bekannten Differentialoperatoren werden auf krummlinige Differentialoperatoren erweitert.
Kovariante Ableitung
Ein krummliniger Differentialoperator ist z.B. die kovariante Ableitung, die im Riemannschen Raum verwendet wird.
Krummlinige Differentialoperatoren ermöglichen die Definition von Verbindungslinien in gekrümmten Räumen, z.B. die Definition von Geodäten im Riemannschen Raum. Geodätische Linien sind die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten, auf der Kugeloberfläche sind die Längenkreise Beispiele für geodätische Liníen, nicht aber die Breitenkreise (Ausnahme: Äquator).
Mit Hilfe allgemeiner Koordinatentransformationen werden im Riemannschen Raum die Christoffelsymbole 
definiert.
Die Christoffelsymbole gehen in die Definition der kovarianten Ableitung eines Vektorfeldes ein.
Die kovariante Ableitung ist eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung des flachen (euklidischen) Raumes für gekrümmte Räume. Sie reduziert sich im euklidischen Raum zur partiellen Ableitung. Im gekrümmten Raum sind die kovarianten Ableitungen eines Vektorfeldes im Allgemeinen nicht miteinander vertauschbar, ihre Nichtvertauschbarkeit wird zur Definition des Riemannschen Krümmungstensors verwendet.
Ein weiterer wichtiger Begriff im Zusammenhang mit gekrümmten Räumen ist die Parallelverschiebung. Die Parallelverschiebung eines Vektors entlang einer geschlossenen Kurve führt im gekrümmten Raum dazu, dass sich der verschobene Vektor mit seinem Ausgangsvektor nicht deckt.
Literatur
- E. Heil: Differentialformen. BI Wissenschaftsverlag, 1974
- Eine Einführung in die Analysis und wie sie mit Hilfe von Differentialformen beschrieben werden kann. Das Buch ist hilfreich für das Verständnis differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. Es ist (relativ) leicht verständlich geschrieben.
- Rolf Walter: Differentialgeometrie. BI Wissenschaftsverlag, 1989
- Differentialgeometrie aus dem Blickwinkel der modernen Mathematik. Mit einem Kapitel über Riemannsche Geometrie.
- Manfred P. do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen. Vieweg & Sohn, 1983
- Beschreibt die so genannte elementare Differentialgeometrie. Enthält einen Abschnitt über Parallelverschiebung.
- H. Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie: eine Einführung in die Theorie des Gravitationsfeldes. Dt. Verl. d. Wiss. Berlin 1977
- Mit Kapiteln über Riemannsche Geometrie, Tensoralgebra und Kovariante Ableitung, Krümmungstensor und Differentialoperatoren.
- S. Kobayashi und K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry. I, New York 1963
- Abstraktes Standardwerk.
- Sigurdur Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces. Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7
- Standardreferenz, insbesondere auch für die Klassifikation der halbeinfachen Liegruppen.