Dirac-Gleichung

Die Dirac-Gleichung ist eine relativistische quantenmechanische Wellengleichung die von Paul Dirac 1928 eingeführt wurde. Sie beschreibt Elementarteilchen mit Spin-1/2 (wie zum Beispiel Elektronen). Sie steht in völligem Einklang mit den Prinzipien der Quantenmechanik und ist weitestgehend konsistent mit der speziellen Relativitätstheorie. Außerdem trägt sie auf natürliche Weise dem Spin von Elementarteilchen und der Existenz von Antiteilchen Rechnung.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Ableitung der Dirac Gleichung

2.1 Die Natur der Wellenfunktion
2.2 Energiespektrum
2.3 Löchertheorie

3 Elektromagnetische Wechselwirkung

3.1 Der Hamilton Operator der Wechselwirkung

4 Relativistische kovariante Formulierung

4.1 Artikel
4.2 Bücher

Einleitung

Da die Dirac-Gleichung ursprünglich entwickelt wurde um das Elektron zu beschreiben, werden wir im Allgemeinen in diesem Artikel auch von Elektronen reden. Die Gleichung eignet sich ebenfalls zur Beschreibung anderer Spin-1/2 Teilchen wie Neutrinos und in einer leicht abgewandelten Form auch zur näherungsweisen Beschreibung von Protonen und Neutronen, welche aufgrund ihres Aufbaus aus kleineren Teilchen (den Quarks) keine Elementarteilchen sind

Die Dirac-Gleichung lautet:

$\left(E + c\sum_{j = 1}^3 \hat{\alpha}_j p_j + \hat{\beta} \, m_ec^2 \right) \vert\psi(\mathbf{x},t)\vert = 0$

oder nach dem Korrespondenzprinzip:

$\left(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} + i \hbar \, c \, \hat{\alpha} \, \nabla + \hat{\beta}\, m_ec^2 \right) \vert\psi(\mathbf{x},t)\vert = 0$

wobei m die Ruhemasse des Elektrons, c die Lichtgeschwindigkeit, p (bzw. $-i\hbar \nabla$ ) der Impulsoperator, $\hbar$ das planksche Wirkungsquantum, x und t Orts- und Zeitvariablen und ψ(x, t) eine vierkomponentige Wellenfunktion sind. (Die Wellenfunktion muss als vierkomponentiger Spinor, und nicht als einfacher Skalar, auf Grund der Anforderungen der speziellen Relativitätstheorie eingeführt werden. Die physikalische Bedeutung der Komponenten wird später besprochen.) Die α's sind lineare Operatoren, die auf die Wellenfunktion wirken, und als Spaltenmatrizen (4×4 Matrizen) geschrieben werden Sie sind als Dirac-Matrizen bekannt. Die Dirac-Matrizen bilden, mathematisch betrachtet, eine Clifford-Algebra. Es gibt mehrere Möglichkeiten Dirac-Matrizen zu definieren, eine viel verwendete Variante ist die Folgende:

$\hat{\beta} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \quad \hat{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \hat{\alpha}_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i& 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \hat{\alpha}_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Die Dirac-Gelichung beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichteamplitude eines einzelnen Elektrons. Diese Ein-Teilchen-Theorie liefert eine ziemlich gute Vorhersage des Spins und magnetischen Moments des Elektrons und erläutert viel über die Feinstruktur, die in Atomspektren (Spektrallinien) zu beobachten ist. Sie macht außerdem die seltsame Vorhersage, dass es unendlich viele Quantenzustände gibt, in denen das Elektron eine negative Energie besitzt, was Dirac (über die bemerkenswerte Hypothese der "Loch-Theorie") dazu veranlasste, die Existenz der Positronen vorherzusagen, welche sich exakt wie Elektronen mit positiver Ladung verhalten. Diese Vorhersage wurde 1932 mit der Entdeckung des Positrons bestätigt.

Ableitung der Dirac Gleichung

Die Natur der Wellenfunktion

Energiespektrum

Löchertheorie

Die allgemeine Lösung der Dirac-Gleichung umfasst neben positiven auch negative Energien. Da man diese jedoch nicht vollständig entkoppeln kann, ist ein Verwerfen der "negativen Zustände" nicht möglich.

Als Beispiel dient das Wasserstoff-Atom unter relativistischer Betrachtung: wegen der Kopplung des Elektrons mit dem elektromagnetischen Feld besteht stets eine gewisse Wahrscheinlichkeit für den Strahlungsübergang aus einem bestimmten Zustand des Atoms in einen Zustand mit niedrigerer Energie. Folglich kann ein Elektron in einem der gebundenen Zustände des Wasserstoffatoms, selbst wenn es isoliert ist, durch Quantensprünge in Zustände mit negativer Energie übergehen, wobei ein Photon oder auch mehrere emittiert werden. Weil nun das Spektrum nach unten nicht beschränkt ist, besitzt das Wasserstoffatom keine stabilen Zustände.

Um diese Schwierigkeit zu umgehen, machte Dirac folgenden Vorschlag: im sogenannten Vakuum sind die Zustände mit negativer Energie sämtlich durch Elektronen besetzt. Bringt man in dieses "Vakuum" ein weiteres Elektron, so befindet es sich notwendig in einem Zustand mit positiver Energie, weil die Zustände mit negativer Energie bereits besetzt sind und Elektronen der Fermi-Dirac-Statistik gehorchen.

Dirac-Gleichung

Einleitung

Ableitung der Dirac Gleichung

Die Natur der Wellenfunktion

Energiespektrum

Löchertheorie

Elektromagnetische Wechselwirkung

Der Hamilton Operator der Wechselwirkung

Relativistische kovariante Formulierung

Artikel

Bücher

See also: Dirac-Gleichung, 1928, 1932, Antiteilchen, Atom, Carl David Anderson, Clifford-Algebra, Elektronen, Elementarteilchen, Energie