Dirac-Theorie

Die Dirac-Theorie ist ein Teil der Quantenmechanik, der auch die spezielle Relativitätstheorie mit einbezieht. Sie wurde 1928 von Paul A. M. Dirac ausgehend von der Klein-Gordon-Gleichung entwickelt.

Die Dirac-Theorie beschreibt die Eigenschaften und das Verhalten von Fermionen (d.h. Teilchen mit halbzahligem Spin), die Klein-Gordon-Gleichung dagegen das von Bosonen (d.h. Teilchen mit ganzzahligem Spin). Die wichtigsten Erfolge der Dirac-Theorie sind:

Die Vorhersage der Existenz von Antimaterie insbesondere die des Positrons, die Dirac aus der Existenz von Zuständen mit negativer Energie ableitete. Sie gilt als ein Paradebeispiel für den Erkenntnisvorsprung der theoretischen Physik vor der experimentellen. Der erste experimentelle Nachweis des Positrons gelang 1932.

Die korrekte Vorhersage für den Wert des Spindrehimpulses des Elektrons. Während der Bahndrehimpuls in der Quantenmechanik nur ganzzahlige Vielfache des planckschen Wirkungsquantums $\hbar$ annehmen kann, beträgt er für den intrinsischen Drehimpuls des Elektrons $\hbar/2$ . Damit in Zusammenhang steht auch

die Vorhersage für den Wert des g-Faktors des Elektrons. Dieser Faktor beschreibt das Verhältnis von Drehimpuls zu magnetischem Moment und hat bei Systemen, die der klassischen Physik gehorchen den Wert g=1, für das Elektron misst man jedoch g=2,00232. Aus der Dirac-Theorie leitet sich g=2 ab. Die verbleibende Differenz zum experimentellen Wert wurde erst später im Rahmen der Quantenelektrodynamik verstanden.

Grundlage der Dirac-Theorie ist die Dirac-Gleichung. Dabei handelt es sich um eine Beziehung für eine Wellenfunktion $ψ$ mit vier Komponenten. Die Zahl vier steht in engem Zusammenhang mit den beiden möglichen Zuständen des Spins in Kombination mit der Existenz von Teilchen und Antiteilchen. Die Dirac-Gleichung für kräftefreie Teilchen lautet

$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} =D_0\psi = \frac{\hbar}{i} c \sum_{n=1}^3\alpha_n \partial _n \psi + \beta m_0 c^2 \psi$

$\alpha _1,\ \alpha_2,\ \alpha_3$ und $β$ sind die $4 \times 4$ -Matrizen

$\alpha _n = \begin{pmatrix} 0 & \sigma _n \\ \sigma _n & 0 \end{pmatrix} ;\; \beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

oder ausgeschrieben

$\beta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \quad \alpha_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\alpha_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i& 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \alpha_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Man nennet $D 0$ den freien Diracoperator. Die zugeörige Eigenwertgleichung, auch zeitnunabhängige Diracgleichung genannt, lautet $D ψ = E ψ$ wo $E$ die möglichen Energien des Teilchens sind. Diese Gleichung kann sowohl für positive als auch für negative $E$ genauer für $E\in (-\infty,-mc^2]\cup[mc^2,\infty)$ erfüllt werden.

Im masselosen Fall ( $m = 0$ ), d. h. der Summand mit $β$ tritt nicht auf, heißt die Diracgleichung auch Weylgleichung. In gewisser Weise kann man die Diracgleichung als Quadratwurzel der Klein-Gordon-Gleichung auffassen. Genauer gilt, da&szlig das Quadrat des freien Diracoperators gerade gleich dem negativen Laplaceoperator multipliziert mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit plus der Quadrat der Ruheenergie des betrachteten Teilchens ist, also $D_0^2 = -c^2\Delta +m^2c^4$ .

Dirac-Theorie

See also: Dirac-Theorie, 1928, 1932, Antimaterie, Bahndrehimpuls, Bosonen, Dirac-Gleichung, Drehimpuls, Elektron, Energie