Diskrete Topologie

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist ein topologischer Raum diskret, wenn alle Punkte isoliert sind, d.h. wenn in einer hinreichend kleinen Umgebung des Punktes keine weiteren Punkte liegen.

Definition

Es sei $X$ eine Menge. Dann ist die diskrete Topologie auf $X$ , die Topologie, in der alle Mengen offen sind. Ein Raum, der die diskrete Topologie trägt, heißt diskret.

Teilmengen $Y$ topologischer Räume $X$ heißen diskret, wenn sie mit der induzierten Topologie diskret sind. Das ist äquivalent dazu, dass es zu jedem Punkt $y\in Y$ eine Umgebung $U\subseteq X$ von $y$ gibt, die $y$ als einzigen Punkt von $Y$ enthält, d.h. $U\cap Y=\{y\}$ .

Eigenschaften

Stetige Abbildungen von einem topologischen Raum $X$ in einen diskreten topologischen Raum $Y$ sind lokal konstant.
Jede Mengenabbildung von einem diskreten topologischen Raum $X$ in einen beliebigen topologischen Raum $Y$ ist stetig.
Ein topologischer Raum ist genau dann diskret, wenn für jeden Punkt $x$ die Menge ${x}$ offen ist.
Diskrete Räume sind stets hausdorffsch. Sie sind genau dann kompakt, wenn sie nur endlich viele Punkte enthalten.
Das kartesische Produkt endlich vieler diskreter topologischer Räume ist wieder diskret.
Die diskrete Topologie wird von der Metrik

$d(x,y)=\begin{cases}0 & \mathrm{f\ddot ur}\ x=y\\1 & \mathrm{f\ddot ur}\ x\ne y\end{cases}$

induziert. Bezüglich dieser Metrik ist der Raum vollständig. Es kann jedoch andere Metriken geben, die ebenfalls die diskrete Topologie induzieren, bezüglich derer der Raum aber nicht vollständig ist: Ein Beispiel ist der Raum $\{1/n\mid n=1,2,3,\ldots\}$ mit der durch den Betrag gegebenen Metrik.

Diskrete Topologie

Definition

Eigenschaften

See also: Diskrete Topologie, Hausdorffraum, Induzierte Topologie, Kartesisches Produkt, Kompakter Raum, Lokal konstante Funktion, Mathematik, Menge (Mathematik), Metrischer Raum, Topologie (Mathematik)