Dreiecksungleichung

Dreieck

Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten a und b stets größer oder gleich der Länge der dritten Seite c. Das heißt formal:

$c \leq a + b$

Man kann auch sagen, der Abstand von A nach B ist stets kleiner oder gleich dem Abstand von A nach C und von C nach B zusammen, oder um es populär auszudrücken: "Der direkte Weg ist immer der Kürzeste."

Das Gleichheitszeichen gilt dabei nur, wenn a, b und c in die gleiche Richtung weisen.

Da aus Symmetriegründen auch $a \leq c + b$ gilt, folgt $a-b\leq c$ , analog erhält man $b-a\leq c$ , insgesamt also

$\left| a-b \right|\le c\le a+b$ .

Die Dreiecksungleichung charakterisiert Abstands- und Betragsfunktionen. Sie wird daher als ein Axiom der abstrakten Abstandsfunktion in metrischen Räumen verwendet.

Inhaltsverzeichnis

1 Formen der Dreiecksungleichung (exaktere Formulierung)

1.1 Dreiecksungleichung für reelle Zahlen
1.2 Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen
1.3 Dreiecksungleichung für Vektoren
1.4 Dreiecksungleichung für sphärische Dreiecke
1.5 Dreiecksungleichung für Lp-Räume
1.6 Dreiecksungleichung für metrische Räume

2 Siehe auch

Formen der Dreiecksungleichung (exaktere Formulierung)

Dreiecksungleichung für reelle Zahlen

Für reelle Zahlen gilt: $\Big| |a| - |b|\Big|\le\left| a + b \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|$ .

Beweis

Weil alle Seiten nichtnegativ sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung:

$a^2 - 2\left| ab \right| + b^2 \le a^2 + 2ab + b^2 \le a^2 + 2\left| ab \right| + b^2$ .

Das ist äquivalent zur Ungleichung

$-2\left| ab \right| \le 2ab \le 2\left| ab \right|$ ,

welche gilt, weil $-|x| \le x \le |x|$ für alle reellen $x$ .

Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen

Für komplexe Zahlen gilt:

Beweis

Da alle Seiten positiv sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung und man erhält

$Z_1\bar{Z_1}-2\left| Z_1 Z_2\right|+Z_2\bar{Z_2} \le Z_1\bar{Z_1}+Z_1\bar{Z_2}+\bar{Z_1}Z_2+Z_2\bar{Z_2}\le Z_1\bar{Z_1}+2\left| Z_1 Z_2\right|+Z_2\bar{Z_2}$

wobei der Überstrich komplexe Konjugation bedeutet. Setzt man $Z:=Z_1\bar{Z_2}$ . so bleibt also zu zeigen

$-2 \left|Z\right| \le Z+\bar{Z}\le 2 \left|Z\right|$ .

Mit $Z = u + i v$ erhält man

$-2\sqrt{u^2+v^2}\le (u+iv)+(u-iv)=2u\le 2\sqrt{u^2+v^2}$

bzw.

$|u|\le \sqrt{u^2+v^2}$ ,

was wegen $0\leq v^2$ immer erfüllt ist.

Dreiecksungleichung für Vektoren

Für Vektoren gilt:

$\Big|\left| \vec{a} \right| - \left| \vec{b} \right| \,\,\Big|\le\left| \vec{a} + \vec{b} \right| \le \left| \vec{a} \right| + \left| \vec{b} \right|$ .

Die Gültigkeit dieser Beziehung sieht man durch Quadrieren

$\left| \vec{a} \right|^2 - 2\left| \vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right| + \left| \vec{b} \right|^2\le\left| \vec{a} \right|^2+ 2 \vec{a}\cdot \vec{b}+\left|\vec{b} \right|^2 \le \left| \vec{a} \right|^2 + 2\left| \vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right| + \left| \vec{b} \right|^2$

und Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung:

$\left|\vec{a}\cdot \vec{b}\right| \le \left| \vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|$ .

Dreiecksungleichung für sphärische Dreiecke

Im sphärischen Dreieck gilt für die drei Seitenlängen:

$\left|a - b\right| \le c \le a + b$ . Sphärisches Dreieck

Dreiecksungleichung für L^p-Räume

Die Dreiecksungleichung in L^p-Räumen wird Minkowski-Ungleichung genannt und mittels der Hölderschen Ungleichung bewiesen.

Dreiecksungleichung für metrische Räume

In einem metrischen Raum $\left(X,d\right)$ wird als Axiom für die abstrakte Abstandsfunktion verlangt, dass die Dreiecksungleichung in der Form $d(x,y)\leq d(x,z) + d (z,y)$ für alle $x,y,z \in X$ erfüllt ist. In jedem metrischen Raum gilt also per definitionem die Dreiecksungleichung. Daraus lässt sich ableiten, dass in einem metrischen Raum auch $\left| d(x,z) - d (z,y)\right|\leq d(x,y)$ für alle $x,y,z \in X$ gilt.