Injektivität

Injektivität (injektiv oder linkseindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Sie bedeutet, dass keine zwei verschiedenen Elemente auf das Gleiche abgebildet werden, d.h. eine Funktion in beide Richtungen eindeutig ist. Eine injektive Funktion ist also (als Relation gesehen) links- und rechtseindeutig.

Im Unterschied zu einer bijektiven Abbildung entspricht dabei nicht unbedingt jedem Element der Zielmenge ein Element des Definitionsbereichs (die Bildmenge ist also i. A. kleiner als die Zielmenge), so dass injektive Funktionen im Allgemeinen keine Umkehrfunktion haben, beziehungsweise die Umkehrfunktion nicht vollständig definiert ist.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

2 Beispiele und Gegenbeispiele

3 Geschichte

4 Verwandte Attribute

Definition

Seien $X$ und $Y$ Mengen, sowie $f$ eine Abbildung von $X$ nach $Y$ .

$f$ heißt injektiv, wenn für alle $y$ aus $Y$ höchstens ein $x$ aus $X$ mit $f (x) = y$ existiert.

Äquivalente Formulierung:

$f$ heißt injektiv, wenn für alle $x 1$ , $x 2$ aus $X$ und $y$ aus $Y$ gilt: Wenn $f (x 1) = y$ und $f (x 2) = y$ , dann $x 1 = x 2$ .

Formal: $\forall x_1, x_2 \in X | f(x_1)=y \wedge f(x_2)=y, y \in Y \Rightarrow x_1=x_2$

*Beispiele in unterschiedlicher Darstellungsform*
Injektivität Mengenkastendarstellung.	Injektivität Mengenkastendarstellung.
Injektivität Mengenwolkendarstellung.

Beispiele und Gegenbeispiele

Unmathematisches Beispiel: die "Funktion", die jedem Bürger der Bundesrepublik Deutschland mit Personalausweis die Nummer seines Personalausweises zuordnet, ist "injektiv".

Bezeichne $\mathbb{R}$ die reellen Zahlen und $S$ das Intervall $[0, \infty[$ . Gegeben seien die Funktionen

$f_1:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ,

f 1 (x) = x 2

$f_2: S \rightarrow\mathbb{R}$ ,

f 2 (x) = x 2

$f_3:\mathbb{R}\rightarrow S$ ,

f 3 (x) = x 2

$f_4: S \rightarrow S\,$ ,

f 4 (x) = x 2

Dann ist

f 1

nicht injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv

f 2

injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv

f 3

nicht injektiv, surjektiv, nicht bijektiv

f 4

injektiv, surjektiv, bijektiv

Man beachte, dass die Frage, ob eine Funktion $f$ injektiv ist, nur vom Funktionsgraphen ${(x, y): f (x) = y}$ abhängt. (Im Gegensatz zur Surjektivität, die auch von der Zielmenge abhängt, welche man am Funktiongraphen nicht ablesen kann.)

Geschichte

Nachdem man generationenlang mit Formulierungen wie "eineindeutig" ausgekommen war, kam erst in der Mitte des 20. Jahrhunderts mit der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedürfnis nach einer prägnanteren Bezeichnung auf. Wahrscheinlich wurde das Wort "injektiv" ebenso wie "bijektiv" und "surjektiv" in den 1930ern von N. Bourbaki geprägt. Als frühester Gebrauch im Englischen wird genannt [1]: Das Substantiv "Injektion" wurde 1950 von S. MacLane, das Adjektiv "injektiv" 1952 in den Foundations of algebraic topology von Eilenberg und Steenrod eingeführt.

Injektivität

Definition

Beispiele und Gegenbeispiele

Geschichte

Verwandte Attribute

See also: Injektivität, Bijektiv, Bijektivität, Bildmenge, Bundesrepublik Deutschland, Bürger, Definitionsbereich, Funktion (Mathematik), Funktionsgraph, Intervall (Mathematik)