Einheitswurzel

n-te Einheitswurzeln sind (komplexe) Zahlen, deren n-te Potenz 1 ist.

Einheitswurzeln in den komplexen Zahlen

Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau n Einheitswurzeln:

z_1, z_2, \dots, z_n

Für jede dieser zk gilt:

{z_k}^n = 1

Zum Beispiel ist für n=2:

z1 = − 1,z2 = 1

oder für n=4:

z_1 = i,\ z_2 = -1,\ z_3 = -i,\ z_4= 1, wobei i die imaginäre Einheit ist. Es gilt: i2 = − 1, also (i2)2 = 1.

Eine Einheitswurzel zk heißt primitiv, falls alle Einheitswurzeln Potenzen von zk sind.

Ermittlung der Einheitswurzeln

Die Einheitswurzeln einer gegebenen Potenz n lassen sich geometrisch ermitteln: Sie sind die Ecken eines n-Ecks, dessen Ecken auf dem Einheitskreis (mit Mittelpunkt 0 und Radius 1) der komplexen Ebene liegen, wobei eine Ecke die komplexe Zahl zn = 1 ist. Realteil x und Imaginärteil y der Einheitswurzel z = x + iy lassen sich aus den Koordinaten der Unterteilungs-Punkte auf dem Kreis direkt ablesen. Exakt berechnen lassen sie sich aus dem Kosinus und dem Sinus der zugehörigen Winkel:

x_k = \cos ( k \cdot 2\pi /n) = \cos ( k \cdot 360^\circ / n )
y_k = \sin ( k \cdot 2\pi /n) = \sin ( k \cdot 360^\circ / n )
k = 1, \ldots, n

Einheitswurzeln in beliebigen Körpern

In einem beliebigen Körper K heißen die Elemente ζ, für die

ζn = 1

gilt, n-te Einheitswurzeln. Für die Menge der n-ten Einheitswurzeln in K schreibt man oft μn(K).

Die n-ten Einheitswurzeln bilden eine zyklische Untergruppe der multiplikativen Gruppe K^\times von K; Erzeuger sind diejenigen Einheitswurzeln mit der höchsten Ordnung.

Die Anzahl der n-ten Einheitswurzeln in K ist stets ein Teiler von n. Beispielsweise gibt es im Körper der rationalen Zahlen genau zwei sechste Einheitswurzeln, nämlich \{\pm1\}.

Erweiterungen von \mathbb Q, die durch Adjunktion von Einheitswurzeln entstehen, heißen Kreisteilungskörper.

See also: Einheitswurzel, Adjunktion (Algebra), Imaginäre Einheit, Imaginärteil, Komplexe Ebene, Komplexe Zahl, Kosinus, Kreisteilungskörper, Körper (Mathematik), Multiplikative Gruppe