Elektrostatik

Die Elektrostatik befasst sich mit ruhenden elektrischen Ladungen, Ladungsverteilungen und den elektrischen Feldern geladener Körper.

Schon im Altertum war bekannt, dass bestimmte Materialien nach dem Reiben kleine leichte Teilchen, z.B. Papierschnipsel, anziehen. Das griechische Wort "elektron" für Bernstein, bei dem dieses Phänomen gut zu sehen ist, ist der Namensgeber für viele Bereiche der Naturwissenschaften.

Die Elektrostatik ist eine Untermenge der Elektrodynamik, die die Elektrostatik um die Wechselwirkungen auch bewegter Ladungen (elektrischer Strom) und magnetischer Felder sowie deren dynamischer (zeitlicher) Entwicklung erweitert. Die Elektrostatik findet ihr Analogon in der Magnetostatik, die sich mit stationären (zeitlich konstanten) Strömen und Magnetfeldern befasst.

Die Phänomene der Elektrostatik rühren von den Kräften her, die elektrische Ladungen aufeinander ausüben. Diese Kräfte werden vom Coulombschen Gesetz beschrieben. Auch wenn die im obigen Beispiel, geriebener Bernstein und Papierschnizel, beschriebenen Kräfte klein erscheinen, ist die elektrische Kraft z.B. im Vergleich zur Gravitationskraft ausserordentlich stark. So ist die elektrische Kraft zw. einem Elektron und einem Proton (Beide bilden zusammen ein Wasserstoff-Atom) um ungefähr 40 Grössenordnungen grösser als ihre gegenseitige Anziehung aufgrund der Gravitationskraft.

Die von einer gegebenen Ladung Q auf eine Probe ausgeübte Kraft ist proportional zur Ladung q der Probe. Sie lässt sich also durch die Gleichung F=qE beschreiben. Diese Gleichung definiert das von Q begleitete elektrische Feld E.

Von einem äusseren elektrischen Feld werden in elektrischen Leitern und Isolatoren unterschiedliche Effekte hervorgerufen. Die freien elektrischen Ladungen in Leitern, z.B. die Leitungselektronen der Metalle, verschieben sich makroskopisch solcherart, dass das elektrische Feld im gesamten Inneren des Leiters verschwindet (siehe Faradayscher Käfig). Dieses Phänomen wird Influenz genannt. Andererseits reagieren die lokal gebundenen Ladungen in einem Isolator, also die Elektronen und Kerne der Atome, durch eine gegenseitige Verschiebung, wodurch der Isolator polarisiert wird.

Das von einem elektrischen Feld E auf eine Probe q induzierte Kraftfeld F ist konservativ, das heißt die potenzielle Energie W der Probe im elektrischen Feld ist nur abhängig von der Position x der Probe, nicht aber vom Weg, auf dem die Probe nach x bewegt wurde. Das bedeutet auch, dass sich das elektrische Feld als Gradient eines elektrostatischen Potentials φ darstellen lässt. Die potenzielle Energie einer Probe im Potenzial ist also W=q φ. Der Differenz zweier elektrischer Potentiale entspricht die elektrische Spannung. Das Verschwinden des elektrischen Feldes, E=0, ist gleichbedeutend mit einem konstanten elektrischen Potential, φ=const.

Das Feld, und damit auch das Potential, einer bel. Ladungsverteilung in einem homogenen Isolator lässt sich leicht anhand der aus dem coulombschen Gesetz abgeleiteten Gesetzmässigkeiten berechnen. (Das Feld in einem Leiter verschwindet.) Eine solche Berechnung ist bei räumlichen Anordnungen von Leitern, Nichtleitern und Ladungen nur in wenigen Fällen einfach.

Alltäglich bekannte Phänomene der Elektrostatik beruhen auf sehr hohen elektrischen Spannungen. Als klassisches Beispiel für die elektrostatische Auf- und Entladung von Körpern können Blitze dienen. Die Ladungstrennung liegt hier zwischen Wolken und dem Erdboden vor. Die bei Blitzentladung fließenden Ströme sind extrem hoch (>100 Kilo-Ampere). Im Kleinen taucht dieser Effekt auf, wenn man mit Gummisohlen bei trockener Luft über einen Teppichboden schlurft und sich dann bei Berührung von einem Metallgegenstand erdet: Man kriegt eine "gewischt", d.h. es findet eine Spontanentladung statt - bei der nur minimale Ströme (~10 Milli-Ampere) fließen.

Inhaltsverzeichnis

1 Das elektrische Feld

2 Potential und Spannung

3 Die Energie des elektrischen Feldes

Das elektrische Feld

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„Illustration des elektrischen Feldes und der Äquipotentialflächen um eine positive Ladung im Raum“

Aus dem coulombschen Gesetz und der Definition des el. Feldes, E=F/q, folgt für das von einer Punktladung Q am Ort x' erregte el. Feld E am Ort x:

$\vec E(\vec x) = k Q\frac{\vec x-\vec{x'}}{\left\|\vec x-\vec{x'}\right\|^3}$

Das elektrische Feld ist ein gerichtetes Vektorfeld. Für eine positive Ladung ist es genau von der Ladung weg, für eine negative Ladung zur Ladung hin gerichtet. Seine Stärke ist proportional zur Stärke der Ladung Q und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands von Q. Der Proportionalitätsfaktor k ist die Naturkonstante $k = 1 / (4πε 0)$ . Siehe Dielektrizitätskonstante.

Das von einer Menge an Ladungen, Q_i, erregte Feld ist die Summe der Teilbeiträge:

$\vec E(\vec x) = k \sum_i {Q_i\frac{\vec x-\vec{x_i}}{\left\|\vec x-\vec{x_i}\right\|^3}}$

Oder im Fall einer kontinuierlichen Raumladungsverteilung, ρ, das Integral:

$\vec E(\vec x) = k \int {\rho(\vec{x'})\frac{\vec x-\vec{x'}}{\left\|\vec x-\vec{x'}\right\|^3}}d^3x'$

Das gaußsche Gesetz beschreibt, dass der Fluss des elektrischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche A proportional zur Stärke der von der Oberfläche umschlossenen Ladung Q ist:

$\int \vec{ E } d\vec{A} \sim Q = \int \rho dV$

Der Gaußsche Integralsatz verknüpft Fluss und Divergenz eines beliebigen Vektorfelds:

$\int \vec{ E } d \vec{A} = \int \nabla \vec{E} dV$

woraus folgt, dass die Divergenz des el. Feldes proportional zur Raumladungsdichte ist:

$\nabla \vec{ E } \sim \rho$

Das konservative elektrische Feld kann durch den Gradienten eines skalaren elektrischen Potentials φ beschreiben werden:

$\vec{ E } = - \nabla \phi$

Woraus die Poisson-Gleichung folgt:

$\rho \sim \nabla \vec{ E } = - \nabla \nabla \phi = - \triangle \phi$

Das elektrische Feld ist ein Quellenfeld. Es entsteht durch die Anwesenheit von elektrischen Ladungen, der Quelle des elektrischen Feldes . Es kann definiert werden als Raum, in dem auf elektrisch geladene Körper Kräfte ausgeübt werden. Die abgeleitete SI-Einheit der elektrischen Feldstärke ist:

$[E]_{\mathrm{SI}}=\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}} =\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}} =\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3\cdot\mathrm{A}}$

Potential und Spannung

Da eine elektrische Ladung im elektrischen Feld eine Kraft erfährt, wird bei ihrer Bewegung durch das elektrische Feld Arbeit verrichtet, bzw. es muss Arbeit verrichtet werden, um die Ladung gegen das elektrische Feld zu bewegen. Da elektrostatische Felder wirbelfrei sind (konservatives Feld), hängt die benötigte Energie nur vom Start- und Zielort ab, nicht vom genauen Weg. "Wirbelfrei" heißt, dass die Rotation eines Feldes Null ist:

$\qquad\mathrm{rot}\vec E=0\quad\leftrightarrow\quad\oint\vec E\;\mathrm{d}\vec s=0\qquad$

Somit lässt sich eine potentielle Energie der Ladung definieren. Da die Kraft proportional zur Ladung ist, gilt dies auch für die potentielle Energie. Daher kann man die potentielle Energie als Produkt der Ladung und eines Potentials, welches sich aus dem elektrischen Feld ergibt, berechnen.

Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten bezeichnet man als elektrische Spannung. Das Produkt aus der Ladung eines Teilchens und der Spannung zwischen zwei Punkten ergibt die Energie, die man benötigt, um das Teilchen vom einen Punkt zum anderen zu bringen. Die Einheit des elektrischen Potentials und der elektrischen Spannung ist Volt. Gemäß der Definition von Potential und Spannung gilt Volt = Joule/Coulomb.

$U_{12}=\int_{\mathrm{Punkt 1}}^{\mathrm{Punkt 2}}\vec E\;\mathrm{d}\vec s\qquad$

Das Konzept der Spannung stößt an seine Grenzen, wenn dynamische Vorgänge auftreten. Für veränderliche Magnetfelder lässt sich zwar noch eine Induktionsspannung definieren, jedoch ist diese nicht mehr über eine Potentialdifferenz definierbar. Auch ist die für eine Bewegung der Ladung von einem Punkt zum anderen benötigte Energie nur so lange gleich der Potentialdifferenz zwischen den Punkten, wie die Beschleunigung vernachlässigbar klein ist, da nach der Elektrodynamik beschleunigte Ladungen elektromagnetische Wellen aussenden, die ebenfalls in der Energiebilanz berücksichtigt werden müssen.

Die Energie des elektrischen Feldes

In einem Plattenkondensator besteht ein näherungsweise homogenes Feld. Ist die Ladung der einen Platte $Q$ und die der anderen Platte entsprechend $- Q$ , sowie die Plattenfläche $A$ , so hat dieses Feld den Wert

$E = \frac{Q}{\varepsilon_0 A}$ .

Ist der Plattenabstand $d$ , und bringt man eine kleine Ladung $d Q$ von der einen auf die andere Platte, so muss gegen das elektrische Feld folgende Arbeit verrichtet werden

$\mathrm{d}W = F\cdot d = E\mathrm{d}Q\cdot d$ .

Wegen der Energieerhaltung muss diese Arbeit zu einer Erhöhung der Energie des Kondensators führen. Diese kann aber nur im elektrischen Feld stecken. Durch den Ladungsübertrag erhöht sich die Feldstärke um

$\mathrm{d}E = \frac{\mathrm{d}Q}{\varepsilon_0 A}$ .

Auflösen nach $d Q$ und Einsetzen in die Arbeit ergibt

$\mathrm{d}W = \varepsilon_0 A\cdot d\cdot E\mathrm{d}E$ .

Nun ist aber $V=A\cdot d$ gerade das Volumen des elektrischen Feldes. Aufintegrieren und Teilen durch $V$ ergibt die Energiedichte

$\frac{W}{V} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$ .

Träger des Feldes

Als Überträger von statischen elektrisches und magnetische Feldern werden oft sogenannte virtuelle Photonen angesehen.

Literatur

John David Jackson: Klassische Elektrodynamik Walter de Gruyter, Berlin 1982, ISBN 3-11-009579-3
Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik. Bd.2 : Elektrizität und Optik Springer, Berlin 2004, ISBN 3540202102

Siehe auch

Influenz, Coulomb, Elektrische Kapazität, Elektroskop, Coulombsches Gesetz, Antistatikband, Gottlieb Christoph Bohnenberger

Weblinks

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