Elementare Algebra
Die Elementare Algebra ist die grundlegende Form der Algebra (Schulmathematik), die man in der Schule lernt. Während in der Arithmetik nur reelle Zahlen und ihre Verknüpfungen auftreten, gibt es in der Algebra auch Symbole (meist Buchstaben wie a, i, j, x, y), die Zahlen bezeichnen.
Dies ist nützlich, denn
- es erlaubt die Formulierung allgemeingültiger arithmetischer Gesetze (beispielsweise a + b = b + a für alle a und b) und dient so der systematischen Erkundung der Eigenschaften des Systems der reellen Zahlen,
- es erlaubt, über "unbekannte" Zahlen zu sprechen, und so Gleichungen aufzustellen und ihre Lösungsmöglichkeiten zu untersuchen (zum Beispiel "finde die Zahl x mit 3x + 2 = 10"),
- es erlaubt die Beschreibung funktionaler Abhängigkeiten (beispielsweise "wenn du x Eintrittskarten verkaufst, dann machst du einen Gewinn von 3x - 10€").
Diese drei sind die Hauptziele der elementaren Algebra. Davon zu unterscheiden ist die abstrakte Algebra, ein Teilgebiet der Mathematik, das man erst im Studium kennenlernt (und auch davon nur einen kleinen Teil, wenn man nicht gerade Mathematik, Physik oder ähnliches studiert).
In der Algebra besteht ein Ausdruck aus Zahlen, Variablen und arithmetischen Operationen, zum Beispiel a + 3, x2 - 4. Eine Gleichung besteht aus zwei Ausdrücken, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Manche Gleichungen sind erfüllt für alle Werte der beteiligten Variablen (wie beispielsweise a+(b+c) = (a+b)+c), diese nennt man Identitäten. Andere Gleichungen sind nicht für jeden möglichen Wert der Variablen erfüllt und wir sind an den Werten interessiert, für die die Gleichung erfüllt ist - den Lösungen der Gleichung. Zum Beispiel ist die Gleichung x2 - 4 = 0 nur für die Werte 2 und -2 von x erfüllt.
Wie in der Arithmetik ist es auch in der Algebra wichtig, genau zu wissen, wie mathematische Ausdrücke interpretiert werden. Dies wird von den Vorrangregeln der Operationen bestimmt (beispielsweise "Punkt- vor Strichrechnung", Klammern zuerst ausrechnen).
Es ist auch nötig, Ausdrücke vereinfachen zu können. Zum Beispiel kann der Ausdruck
- -4(2a + 3) - a
auch geschrieben werden als
- -9a-12
Die Gleichungen, die am einfachsten zu lösen sind, sind lineare Gleichungen wie zum Beispiel
- 2x + 3 = 10
Die Lösungstechnik besteht hier darin, beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl zu addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren, bis die Variable x auf einer Seite allein steht. Im obigen Beispiel subtrahieren wir 3 von beiden Seiten und erhalten
- 2x = 7
dann teilen wir beide Seiten durch 2 und erhalten die Gleichung
- x = 7/2
an der man die Lösung 7/2 ablesen kann.
Gleichungen wie
- x2 + 3x = 5
nennt man quadratische Gleichung und kann sie mittels quadratischer Ergänzung oder der so genannten pq-Formel lösen (siehe dazu Quadratische Ergänzung).
Gleichungen können viele Variablen enthalten, und für manche kann man eindeutige Werte bestimmen, für andere nicht. Zum Beispiel:
- (x - 1) * (x - 1) = y * 0
Nach ein paar Umformungen können wir schließen, dass x = 1 sein muss, aber y kann jeden Wert annehmen und die Gleichung ist erfüllt, solange nur x den Wert 1 hat.
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