Ellipsoid

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Ellipsoid mit (a, b, c) = (4, 2, 1)

Ein Ellipsoid ist ein höherdimensionales Analogon einer Ellipse.

Definition

Die Gleichung eines Ellipsoids im dreidimensionalen Raum lautet bei Verwendung kartesischer Koordinaten

${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1$

mit positiven reellen Zahlen a, b and c, den Längen der Halbachsen. Allgemein ist ein Ellipsoid die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung (quadratischen Form) mit positiv definiter symmetrischer reeller Matrix $Q = (q i j)$ :

$E= \left\{ x= (x_1\ldots x_n)\in R^n : x^T Q x = \sum_{1\le i,j\le n\ }q_{ij}x_i x_j = 1 \right\}.$

Durch Hauptachsentransformation kann man Q auf eine Diagonalmatrix mit positiven Eigenwerten transformieren.

In der Linearen Optimierung werden Ellipsoide in der Ellipsoid-Methode verwendet.

Für das Volumen V gilt: $V = \frac{4}{3} \pi \cdot a\cdot b\cdot c$ wobei wie oben a,b,c die Radien in der Breite, Höhe und Tiefe bezeichnen.

Dreidimensionale Ellipsoide erhält man zum Beispiel durch Rotation einer Ellipse um eine ihrer Achsen, wobei man von Rotationsellipsoiden spricht. Dabei sind zwei der Achsen gleich lang. Beispiele für Rotationsellipsoide sind rotierende Himmelskörper.

Zur Berechnung der Oberfläche S eines Rotationsellipsoids nehmen wir an, daß a ≥ b ≥ c ist. Weiters seien $k = \frac{c}{a}$ das Verhältnis der Halbachsen c und a und $\epsilon = \sqrt{1 - k^2}$ die numerische Exzentrizität der Ellipse, die sich als Schnitt mit der xz-Ebene y = 0 ergibt.

Dann ist für

a = b (Rotationsachse = z-Achse): $S = 2 \pi a^2 \left( 1 + k^2 \frac{\operatorname{atanh}{\left( \epsilon \right)}}{\epsilon} \right)$
b = c (Rotationsachse = x-Achse): $S = 2 \pi c^2 \left( 1 + \frac{1}{k} \frac{\arcsin \left( \epsilon \right) }{\epsilon} \right)$

siehe auch: Paraboloid

Ellipsoid

Definition

See also: Ellipsoid, Diagonalmatrix, Eigenwert, Ellipse, Ellipsoid-Methode, Hauptachsentransformation, Himmelskörper, Lineare Optimierung, Matrix, Paraboloid