Erlang-Verteilung

300px|thumb|Dichte der Erlangverteilung

Die Erlang-Verteilung ist eine statistische Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wurde von Agner Krarup Erlang für die statistische Modellierung der Intervall-Längen zwischen Telefonanrufen entwickelt.

Sie wird also zum einen in der Warteschlangentheorie verwendet, um die Wartezeiten zwischen der Ankunft zweier Kunden zu erfassen und zum anderen in der Qualitätssicherung zur Beschreibung von Lebensdauern. Zwei häufig genutze Formen sind die Erlang B- und die Erlang C-Formel.

Es seien n viele, alle mit dem gleichen Parameter λ exponentialverteilte Zufallsvariablen Y_i (i = 1, ... , n), die stochastisch unabhängig sind, gegeben. Dann ist die Zufallsvariable X = Y₁ + Y₂ + ... + Y_n Erlang-verteilt mit den Parametern n und λ (n ∈ N; λ ≥ 0).

Die Erlang-Verteilung ist eine Gammaverteilung mit den Parametern n und λ. Da n eine natürliche Zahl ist, kann die Dichtefunktion für x > 0 angegeben werden als

$f(x)=\frac{\lambda^n}{(n-1)!}x^{n-1}e^{-\lambda x}.$

Für x ≤ 0 wird f(x) = 0 gesetzt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass X ≤ x ist, ist gegeben durch die Verteilungsfunktion

$F(x)=1-e^{- \lambda x} \sum_{i=1}^n { \frac {( \lambda x) ^{i-1} }{(i-1)!}}$

für x > 0. Für x ≤ 0 wird F(x) = 0 gesetzt.

Kennwerte der Erlang-Verteilung sind der Erwartungswert

$EX=\frac{n}{\lambda}$

und die Varianz

$varX=\frac{n}{\lambda^2}$ .

Ist n = 1, erhält man die Exponentialverteilung mit dem Parameter λ.

Erlang-Verteilung

See also: Erlang-Verteilung, Agner Krarup Erlang, Dichtefunktion, Erlang B, Erlang C, Erwartungswert, Exponentialverteilung, Gammaverteilung, Natürliche Zahl, Statistik