Erzeuger (Algebra)

Eine Menge von Erzeugern oder ein Erzeugendensystem ist eine Teilmenge eines mathematischen Objektes, aus der das ganze Objekt in einem gewissen Sinn wiedergewonnen werden kann. Es gibt dabei grundsätzlich zwei Sichtweisen: ein Erzeugendensystem E eines Objekten V ist einerseits eine Teilmenge, so dass nicht schon in einem kleineren Unterobjekt von V enthalten ist, andererseits kann jedes Element von V durch die "üblichen" Operationen aus den Elementen von E erhalten werden. Ein Objekt heißt endlich erzeugt, wenn es eine endliche Menge von Erzeugern gibt.

Konkret bedeutet das:

• Im Fall von Vektorräumen: Ist V ein Vektorraum, dann ist ein Erzeugendensystem E eine Teilmenge V, so dass es keinen echten Teilraum von V (d.h. der nicht ganz V ist) gibt, der E enthält, oder äquivalent dazu: so dass sich jedes Element von V als Linearkombination von Elementen von E schreiben lässt. Siehe auch Basis (Vektorraum).
• Im Fall von Gruppen: Ist G eine Gruppe, so ist ein Erzeugendensystem E eine Teilmenge, so dass E in keiner von G verschiedenen Untergruppe enthalten ist, oder äquivalent dazu: so dass sich jedes Element von G als Produkt von Elementen aus E und ihren Inversen (auch mehrfach verwendet) schreiben lässt.
• Im Fall von abelschen Gruppen: Ist G eine abelsche Gruppe, so ist ein Erzeugendensystem E eine Teilmenge, so dass E in keiner von G verschiedenen Untergruppe enthalten ist (wie im Fall von beliebigen Gruppen), oder äquivalent dazu: so dass sich jedes Element von G in der Form

a₁e₁ + ... + a_ne_n

mit ganzen Zahlen a₁,...,a_n und Elementen e₁,...,e_n von E schreiben lässt.

See also: Erzeuger (Algebra), Abelsche Gruppe, Basis (Vektorraum), Gruppe, Linearkombination, Teilmenge, Vektorraum