Eulersche Identität

Die eulersche Identität bezeichnet die Formel

e^{i \varphi} = \cos\left(\varphi \right) + i \sin\left( \varphi\right)

und bildet das Bindeglied zwischen trigonometrischen Funktionen und den komplexen Zahlen. Für den Winkel φ = π gewann diese Formel sogar einmal die inoffizielle Auszeichnung schönste Formel der Mathematik:

\begin{matrix} e^{i \pi} + 1 = 0 \end{matrix}

Dabei ist e die eulersche Zahl (Basis des natürlichen Logarithmus), i ist die imaginäre Einheit, (eine komplexe Zahl mit der Eigenschaft i2 = -1) und π ist die Kreiszahl (das Verhältnis vom Umfang zum Durchmesser eines Kreises). Die Gleichung erscheint in Leonhard Eulers Introductio, veröffentlicht in Lausanne 1748.

Der fast 15-jährige Richard Feynman nannte diese Beziehung in seinem Notizbuch die "bemerkenswerteste Formel der Welt". Sie setzt die wichtigsten fundamentalen, mathematischen Konstanten in eine Beziehung:

Spötter sagen, diese Formel besage nichts anderes als: "Wenn man sich umdreht, schaut man in die andere Richtung."

Herleitung

Wir betrachten die Funktion

f(x)=\frac{\cos x+\mathrm i\cdot\sin x}{\mathrm e^{\mathrm ix}}.

Der Nenner ist nie Null, denn es gilt

\mathrm e^{\mathrm ix}\cdot\mathrm e^{-\mathrm ix}=\mathrm e^0=1.

Die eulersche Identität besagt gerade, dass f(x) = 1 für alle x gilt. Wir zeigen das in den folgenden Schritten:

Der einzige Schritt, für den wir etwas tun müssen, ist der erste.

Berechnen wir also die Ableitung von f nach der Quotientenregel: Die Ableitung des Zählers ist

-\sin x+\mathrm i\cdot\cos x,

die des Nenners

\mathrm i\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}.

Damit ergibt sich

f'(x)\,
{}=\frac{(-\sin x+\mathrm i\cdot\cos x)\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}-(\cos x+\mathrm i\cdot\sin x)\cdot\mathrm i\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}}{(\mathrm e^{\mathrm ix})^2}
{}=\frac{-\sin x\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}+\mathrm i\cdot\cos x\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}-\mathrm i\cdot\cos x\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}-\mathrm i^2\cdot\sin x\cdot\mathrm e^{\mathrm ix}}{(\mathrm e^{\mathrm ix})^2}
{}=0.\,


Eine andere Möglichkeit der Herleitung besteht darin, dass man die Exponential-, Sinus- und Cosinus-Funktion je in eine Reihe entwickelt. Die Trennung der Summanden bei der Exponential-Reihe in reelle und imaginäre Anteile ergibt die Summanden der Cosinus- bzw. Sinus-Funktion.

i hoch i

Die Potenz ii der imaginären Einheit kann man mit der eulerschen Identität so berechnen: Setzt man π / 2 in die Identität ein, erhält man

e^{i \frac{\pi}{2} } = i

Dies bedeutet aber gerade, dass iπ / 2 eine Lösung der Gleichung

\begin{matrix} e^z=i \end{matrix}

ist und damit gilt nach Definition der Logarithmusfunktion (die sich vom Reellen ins Komplexe überträgt):

\mbox{Ln}(i)=i \frac{\pi}{2}

(Ln mit großem L bezeichnet den Hauptwert, mehr dazu unten).

Die Definition der Potenz zweier komplexer Zahlen z und ω lautet:
\begin{matrix} z^{\omega}=e^{\omega \ln(z)} \end{matrix}

(wobei zu beachten ist, dass es sich hierbei nicht, wie im Reellen, um eine beweisbare Aussage handelt, sondern überhaupt erst eine Definition der komplexen Potenz darstellt). Möchte man nun die Potenz ii berechnen, so erhält man also:

\begin{matrix} i^i=e^{i\ln(i)} \end{matrix}

Dies lässt sich mit dem Ergebnis von oben wie folgt schreiben:

i^i=e^{i(i\frac{\pi}{2})}=e^{-\frac{\pi}{2}}\approx 0.20787957635076

so dass sich erstaunlicherweise ein reeller Zahlenwert ergibt.

Beachte:

Wegen der i-Periodizität der komplexen Exponentialfunktion, sind auch alle Werte der Form

i\frac{\pi}{2}+2k\pi\cdot i mit k\in\mathbb{Z} Lösungen von ez = i, damit gilt also auch
\ln(i)=i\frac{\pi}{2}+2k\pi\cdot i

womit sich für die hier behandelte Potenz der Wert

i^i=e^{i\ln(i)}=e^{i(i\frac{\pi}{2}+2k\pi\cdot i)}=e^{-\frac{\pi}{2}+2k'\pi} mit k'\in\mathbb{Z}

ergibt, was zeigt, dass ihr in Wirklichkeit unendlich viele Werte (die jedoch alle reell sind!) zugeordnet werden, eine Eigenschaft, die die komplexe Potenz allgemein hat. Lediglich für den Hauptwert des Logarithmus, dessen Imaginärteil im Intervall ( − π,π] liegt, ergibt sich der oben berechnete Wert.

Anschauung

Die Eulersche Identität lässt sich in der komplexen Zahlenebene so veranschaulichen:

Bild:EulerRelation.gif

See also: Eulersche Identität, 1748, Arithmetik, Eulersche Zahl, Exponentialfunktion, Gewöhnliche Differentialgleichung, Imaginäre Einheit, Komplexe Zahlen, Kreiszahl, Leonhard Euler