Ex falso quodlibet
"Ex falso quodlibet" bezeichnet das logische Gesetz, dass aus einem Widerspruch jede beliebige Aussage folgt. Der lateinische Ausdruck besagt übersetzt "Aus dem Falschen (folgt) beliebiges". Eine andere Formulierung lautet "kontrafaktische ("den Tatsachen widersprechende") Implikationen sind immer wahr".
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Formale Definition
Das "ex falso quodlibet" lässt sich wie folgt als Eigenschaft einer Ableitbarkeitsrelation definieren:
Sei 
eine Ableitbarkeitsrelation. genügt dem "ex falso quodlibet" gdw. gilt
Wenn 
und 
, dann 
Erläuterung
In der obigen Definition ist Γ eine Menge von Annahmen, die einen Widerspruch beinhalten, d.h. aus Γ folgt sowohl eine Aussage A als auch die Negation (Verneinung) dieser Aussage 
. ( ist als "aus Γ folgt A " zu lesen.) In diesem Fall folgt jedoch aus Γ jede beliebige Aussage B.
Hierzu ein Beispiel: Nehmen wir an, wir haben die folgende Prämissenmenge:
{"Alle Griechen sind tapfer.", "Sokrates ist ein Grieche.", "Sokrates ist nicht tapfer."}
Dann folgt aus dieser Menge einerseits der Satz
"Sokrates ist tapfer."
(da dieser sich aus "Alle Griechen sind tapfer" und "Sokrates ist ein Grieche" ergibt), als auch die Negation dieses Satzes, nämlich:
"Sokrates ist nicht tapfer."
(dieser Satz folgt trivialerweise, da er schon in der Prämissenmenge enthalten ist). Aus der Prämissenmenge folgen also zwei einander widersprechende Aussagen, d.h. die Menge ist inkonsistent. Nach dem "ex falso quodlibet" folgt nun aus dieser Menge deswegen jeder beliebige Satz, also beispielsweise der Satz "Gras ist schwarz".
Diskussion
Rechtfertigung des "ex false quodlibet"
Das "ex falso quodlibet" gilt in den gebräuchlichen Logiken, insbesondere in der klassischen Aussagen- und Prädikatenlogik. Dennoch scheint es auf den ersten Blick nicht sehr intuitiv zu sein, und bedarf daher einer Rechtfertigung. Diese kann wie folgt aussehen: Die Folgerungsrelation soll ja Wahrheit erhalten, d.h. dass sich die Wahrheit der Prämissen auf die Wahrheit der Konklusion übertragen soll. Das heißt, wenn die Prämissen wahr sind, dann muss bei einer gültigen Folgerung auch immer die Konklusion wahr sein. Beinhalten allerdings die Prämissen einen Widerspruch, so können sie auf keinen Fall wahr sein. In diesem Fall kommt es also auf die Konklusion gar nicht mehr an. Daher kann jede beliebige Konklusion gefolgert werden.
Eine andere Rechtfertigung ist die folgende: Es kann davon ausgegangen werden, dass Widersprüche zu vermeiden sind. Folgt beispielsweise aus einer wissenschaftlichen Theorie ein Widerspruch, so wäre dies ein guter Grund, die Theorie abzulehnen. Das "ex falso quodlibet" gibt uns nun eine Begründung für diese Forderung, dass Widersprüche zu vermeiden sind, an die Hand: Nach dem "ex falso quodlibet" folgt aus einer widersprüchlichen Theorie jede beliebige Aussage. Damit ist die Theorie jedoch zwecklos. Eine Theorie, aus der alles folgt, kann nicht dazu herangezogen werden, Unterscheidungen zu treffen, kann uns keine Antworten auf unsere Fragen geben und kann uns nicht bei unseren Entscheidungen helfen. Das "ex falso quodlibet" besagt also, dass eine widersprüchliche Prämissenmenge für die Praxis wertlos ist.
Kritik am "ex falso quodlibet"
Dennoch ist das "ex falso quodlibet" auch kritisiert worden. Es wurden so genannte parakonsistente Logiken geschaffen, die dem "ex falso quodlibet" nicht gehorchen. Argumente für Parakonsistenz verlaufen wie folgt:
Gilt nicht im Alltag
Ein Argumentationsstrang besagt, dass das "ex falso quodlibet" in unseren alltäglichen Folgerungshandlungen nicht gilt. Wir alle haben (vermutlich) inkonsistente Glaubenssysteme, d.h. wir glauben an einander widersprechende Aussagen. Deswegen glauben wir jedoch noch lange nicht an jede Aussage. Ein Verteidiger des "ex falso quodlibet" könnte hierauf einwenden, dass wir zwar oft an einander widersprechende Aussagen glauben, dass wir das aber unbewusst tun. Sobald uns jemand darauf aufmerksam macht ("Was Du jetzt sagst, widerspricht dem, das Du vorhin gesagt hast."), dann werden wir vermutlich nicht sagen "Ja, das ist ein Widerspruch, aber was soll's", sondern werden versuchen, den Widerspruch aufzulösen.
Gilt nicht bei Paradoxien
Der andere Argumentationsstrang beruft sich auf die Existenz von Paradoxien. Ein Paradox besteht aus zwei einander anscheinend widersprechenden Aussagen, die jedoch beide gleichermaßen plausibel scheinen. Gewöhnlich versucht man ein Paradox aufzulösen, d.h. entweder zu zeigen, dass eine der beiden Aussagen nicht wirklich plausibel ist, oder zu zeigen, dass sich die Aussagen nicht wirklich widersprechen. Es gibt aber einige Paradoxa, zu denen keine wirklich gute Auflösung bekannt ist wie z.B. das Paradox des Eubulides. Vom Standpunkt der parakonsistenten Logik aus kann man in einem solchen Fall die widersprechenden Aussagen für wahr gelten lassen, da man die verheerenden Konsequenzen, dass jede Aussage folgt, nicht zu akzeptieren braucht.
Das "ex falso quodlibet" lässt sich dagegen mit dem Hinweis verteidigen, dass die Auflösung von Paradoxien oft einen Erkenntnisfortschritt erbracht hat. So sind durch die Auflösung der Russellschen Paradoxie die axiomatischen Mengentheorien wie die der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre entstanden, das Nachdenken über die Paradoxien der Unendlichkeit lieferte die Grundlagen zur Infinitesimalrechnung. Wäre es immer möglich, einander widersprechende Aussagen zu akzeptieren, dann würden auch die Notwendigkeit wegfallen, die Paradoxien aufzulösen, und dadurch das Sammeln neuer Erkenntnisse behindert. Zudem gibt es Paradoxien wie Currys Paradox, bei denen auch in einer parakonsistenten Logik alle Aussagen folgen, bei denen also die parakonsistente Logik in derselben Situation ist wie die klassische Logik. Dadurch hat es den Anschein, dass die parakonsistente Logik nur eine ad-hoc-Lösung anbietet und das Problem der Paradoxien nicht wirklich an der Wurzel anpackt.