Potenz (Mathematik)

Bild nicht gefunden

Positive Potenzen graphisch

Bild nicht gefunden

Negative Potenzen graphisch

Potenzieren ist eine mathematische Rechenoperation, die sich zur Multiplikation analog wie diese zur Addition verhält. Es handelt sich also um eine "Kurzschreibweise" für wiederholtes Multiplizieren:

$\begin{matrix} \underbrace{ a\cdot a\cdot a\cdots a }&=a^b\\{b} \end{matrix}$

a nennt man die Basis (Grundzahl) und b den Exponenten (Hochzahl). Das Ergebnis ist die Potenz. Hierbei ist a eine reelle und b (vorerst) eine natürliche Zahl. Ist $b = 0$ , so wird $a 0 = 1$ festgelegt.

Wenn hochgestelltes Schreiben nicht möglich ist (z.B. in einem ASCII-Text), verwendet man oft a^b, gelegentlich auch a**b.

Da das Kommutativgesetz beim Potenzieren nicht gilt ( $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ ; $3^2 = 3 \cdot 3$ ), gibt es zwei Umkehrrechenarten:

das Wurzelziehen, um Gleichungen der Bauart x^a = b zu lösen
das Logarithmieren für Gleichungen des Typs a^x = b.

Es gibt auch Erweiterungen des Potenzierens für nichtganzzahlige Exponenten, siehe dazu den Abschnitt nicht ganzzahlige Exponenten.

Inhaltsverzeichnis

1 Rechenregeln

2 nicht ganzzahlige Exponenten

3 Potenzen komplexer Zahlen

4 Besondere Potenzen

4.1 Anwendungsbeispiele von Zweierpotenzen
4.2 0 hoch 0

5 siehe auch

Rechenregeln

Sind a und b reelle Zahlen und n, r und s natürliche Zahlen, gilt:

$\left(a\cdot{}b\right)^n = a^n\cdot{}b^n$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n},\quad b\neq 0$
$a^r \cdot{} a^s = a^{r+s}$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad \mbox{falls} \quad a\neq 0$
$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},\quad a\neq 0$
$\left(a^r\right)^s = a^{r\cdot s}$
$a 0 = 1$

nicht ganzzahlige Exponenten

Sind n und m ganze Zahlen (n ≠ 0), sowie a eine positive, reelle Zahl, dann definiert man:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

Ausdrücke wie $\sqrt[6]{(-27)^2}$ sind zwar auch definiert, jedoch ist $(-27)^{\frac{2}{6}}$ undefiniert, da man $\frac{2}{6}$ kürzen kann zu $\frac{1}{3}$ , aber $\sqrt[6]{(-27)^2} = 3$ ungleich $\sqrt[3]{(-27)^1} = -3$ ist.

siehe auch Wurzel (Mathematik)

Potenzen positiver reeller Zahlen mit beliebigen reellen Exponenten sind so definiert:

$a^b := \exp(b \cdot \ln a)$

Dabei ist exp die Exponentialfunktion und ln der natürliche Logarithmus.

Potenzen komplexer Zahlen

Ist $a + b i = r \cdot e^{i\varphi}$ mit reellen Zahlen $a$ , $b$ , $r > 0$ und $\varphi$ , dann gilt

$(a+b\;i)^n = (r \cdot e^{i\varphi})^n = r^n \cdot e^{i\; n\varphi} = r^n \cdot (\cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi))$

Das Wurzelziehen ist bei komplexen Zahlen nicht eindeutig. Es ergeben sich $n$ verschiedene $n$ -te Wurzeln einer komplexen Zahl $a + b i \ne 0$ :

$(a+b\;i)^{1/n} = (r \cdot e^{i \varphi})^{1/n} = \left\{ r^{1/n} \cdot e^{i\; (\varphi + 2\pi k)/n} \ |\ k=1, ... \; , n \right\}$

Potenzen beliebiger komplexer Zahlen mit beliebigen reellen oder sogar komplexen Exponenten lassen sich zwar durch die Formel $a^b := \exp (b \cdot \ln a)$ definieren. Da jedoch der komplexe Logarithmus unendlich viele Werte annimmt, hat man unendlich viele verschiedene Potenzen.

Besondere Potenzen

Im alltäglichen Leben werden die Zehnerpotenzen, also die Potenzen mit der Basis 10 (also 1, 10, 100, 1000, ...) wohl am häufigsten verwendet. Sie bilden die Grundlage unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems.

Zur digitalen Verarbeitung von Daten am Computer wird das Dualsystem mit der Basis 2 verwendet. Die Größeneinheiten digitaler Speichersysteme sind daher Potenzen zur Basis 2. Ein Kibibyte, abgekürzt KiB entspricht 2¹⁰ = 1024 Bytes. (Bekannter ist die alte Bezeichnung Kilobyte mit der Abkürzung KB.)

Für die Mathematik besonders wichtig sind die Potenzen mit der Basis $e \approx 2,71828$ , der so genannten eulerschen Zahl.

Anwendungsbeispiele von Zweierpotenzen

Zweierpotenzen entsprechen dem Prozess der wiederholten Verdoppelung. Das Anwachsen dieser Zahlenfolge überrascht bei Praxisbeispielen oft.

Beispiel 1: Ein Blatt Papier lässt sich nur etwa 7 Mal auf die halbe Größe falten. Es hat dann 128 Lagen. Wenn man es (theoretisch) 42 Mal falten könnte, entspräche seine Dicke der Entfernung von der Erde zum Mond.

Beispiel 2: Jeder Mensch hat zwei biologische Eltern, vier Großeltern, acht Urgroßeltern, usw. Verfolgt man diesen Ahnenbaum 70 Generationen zurück (ins Jahr Christi Geburt), so stammt jeder heutige Mensch von 2⁷⁰ = 1.180.591.620.717.411.303.424 Menschen aus dieser Zeit ab, was weit mehr als die damalige Weltbevölkerung ist.

Beispiel 3: Die Legende vom Erfinder des Schachspiels, der auf jedem Feld des Schachbrettes die Anzahl der Weizenkörner verdoppelte: Weizenkornlegende.

Bei Schneeballsystemen, z.B. so genannten Schenkkreisen, werden zum Teil Systeme gestartet, die nicht nur eine Verdoppelung, sondern z.B. eine Verachtfachung der neuen Mitglieder pro Schritt vorsehen. Solche Folgen wachsen derart schnell an, dass die Systeme bereits nach wenigen Schritten zwangsläufig kollabieren.

0 hoch 0

In der oben gegebenen Definition wurde $a 0 = 1$ gesetzt, also ist insbesondere

00 = 1.

Da $0 x$ für alle positiven $x$ den Wert 0 hat, wäre auch der Wert 0 denkbar. Dagegen sprechen aber die folgenden Argumente:

Formeln wie $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^ky^{n-k}$ (binomischer Satz) gelten dann nicht allgemein.
In allgemeineren Situationen kann es vorkommen, dass es Zahlen $a,b\not=0$ gibt, für die $a b = 0$ gilt (man spricht dann von Nullteilern). Dann folgt aus den Potenzregeln $1 = a 0 b 0 = (a b) 0 = 0 0 .$
Zu jeder nichtnegativen reellen Zahl $w$ kann man Funktionen $f, g$ angeben, so dass $f (a) = g (a) = 0$ und

$\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=w$

gilt. Grenzwertargumente sind zur Festlegung von

00

also ungeeignet.