F-Test

Der F-Test ist ein Statistischer Test, mithilfe dessen mit einer gewissen Konfidenz entschieden werden kann, ob zwei Stichproben aus unterschiedlichen Populationen sich hinsichtlich ihrer Varianz statistisch signifikant unterscheiden. Er dient damit unter anderem zur generellen Überprüfung von Unterschieden zwischen zwei statistischen Populationen.

Der Test geht zurück auf einen der bekanntesten Mathematiker und Statistiker Ronald Aylmer Fisher (1890-1962). Als Prüfwert des F-Tests wird der F-Wert berechnet, welcher unter der Nullhypothese einer F-Verteilung (s. auch Chi-Quadrat-Verteilung) mit n₁ und n₂ Freiheitsgraden gehorcht.

Inhaltsverzeichnis

1 F-Test für zwei Stichproben

2 F-Test für mehrere Stichprobenvergleiche

3 F-Test für mehrfaktorielle Testpläne

4 F-Test des Bestimmtheitsmaßes eines Regressionsansatzes

5 Einordnung

6 Literatur

F-Test für zwei Stichproben

Bei dem F-Test zweier Stichproben lautet die Null-Hypothese:

$H_0: {\sigma_1}^2 = {\sigma_2}^2$

Formal berechnet sich der F-Wert der Stichprobe dann als der Quotient der geschätzten Varianzen der beiden Stichproben:

$F_{Stichprobe} =\frac{\hat{\sigma_1}^2}{\hat{\sigma_2}^2}$

Wird die Untersuchung unter einer einseitigen Alternativhypothese betrachtet, schreibt man den größeren Varianzwert in den Zähler. Diese Schätzung wird durch die Varianz der Messwerte ersetzt.

Der theoretische F-Wert kann nun unter Berücksichtigung der Freiheitsgrade der Verteilung und einer angenommenen Irrtumswahrscheinlichkeit $α$ in einer F-Wert-Tabelle nachgeschlagen werden. Diese Tabelle wiederum ist eigentlich nur ein Abbild der F-Verteilung, welche z.B. hier punktuell berechnet werden kann.

Ist $F S t i c h p r o b e$ größer als der theoretische F-Wert für die Irrtumswahrscheinlichkeit $α$ , dann gilt mit der Wahrscheinlichkeit $1 - α$ : Die Varianz der einen Stichprobe unterscheidet sich von der Varianz der anderen Stichprobe signifikant.

Wenn sich zwei Stichproben schon in ihren Varianzen unterscheiden, dann unterscheiden sie sich allgemein natürlich auch.

Beispiel: Ein Unternehmen will vor dem Kauf einer neuen Anwendung prüfen, welche von zwei konkurrierenden Anwendungen die bessere ist. Unter anderem wird die Zufriedenheit der Benutzer gemessen. Die Ergebnisse eines Zufriedenheits-Fragebogen zeigen bei den der 120 Benutzern der Anwendung A eine Varianz von 95. Die Werte der 100 Benutzer der Anwendung B haben eine Varianz von 80. Die Präferenz des Unternehmens geht eindeutig zur Anwendung A, aus diesem Grunde wird eine einseitige Überprüfung vorgeschlagen:

$F_{(n-1,m-1)}=F_{(119,99)}=\frac{{\sigma_A}^2}{{\sigma_B}^2}=\frac{95}{80}=1,188$

Für diesen F-Wert liefert die F-Verteilung eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 18.4%. Das heißt also: Mit der Wahrscheinlichkeit 81.6% unterscheiden sich die Varianzen der beiden Stichproben signifikant.

In der Regel geht man aber von einer Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha \le 0.05$ aus. Wir können also nicht mit genügendem Vertrauen die Nullhypothese ablehnen, müssen also in Kauf nehmen, dass die Varianzen der beiden Stichproben sich nicht untereinander signifikant unterscheiden.

F-Test für mehrere Stichprobenvergleiche

Der einfaktoriellen Varianzanalyse liegt ebenfalls der F-Test zugrunde. Hier werden die Treatment- und Fehler-Varianzen einander gegenüber gestellt.

F-Test für mehrfaktorielle Testpläne

Auch bei der mehrfaktoriellen Varianzanalyse (d.h. die Unterschiede lassen sich auf verschiedene Treatment-Faktoren verteilen)

F-Test des Bestimmtheitsmaßes eines Regressionsansatzes

Hier wird getestet, ob das Bestimmtheitsmaß des Regressionsansatzes Null ist. Wenn die Hypothese abgelehnt wird, kann man vermuten, dass das gewählte Regressionsmodell einen Erklärungswert für den Regressand y besitzt.

Einordnung

Der Likelihood-Ratio-Test ist ein Spezialfall des F-Tests.

Literatur

Bortz, J., 1977, Statistik für Sozialwissenschaftler, Springer:Berlin.
Sachs, L., 2003, Angewandte Statistik - Anwendung statistischer Methoden, Springer, Berlin