Faltung (Mathematik)

30px|Begriffsklärung Neben der auf dieser Seite beschriebenen Faltung, gibt es die eng damit zusammenhängende Faltung zahlentheoretischer Funktionen, die dort beschrieben wird.

In der Mathematik und besonders in der Funktionalanalysis beschreibt die Faltung einen mathematischen Operator, welcher für zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion liefert, die die "Überlappung" zwischen f und einer gespiegelten verschobenen Version von g angibt.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

6 Eigenschaften der Faltung

7 Verallgemeinerungen

8 Anwendung

9 Siehe auch

10 Weblinks

Definition

Für zwei auf dem reellen Intervall D definierte Funktionen f, g: D -> C wird die Faltung von f mit g als f*g notiert und ist definiert als das Integral über das Produkt von f mit einer gespiegelten verschobenen Version von g:

$(f*g)(t) := \int f(\tau)g(t-\tau)\ d\tau$

Der Integrationsbereich ist der Definitionsbereich D beider Funktionen. Im Fall eines beschränkten Definitionsbereichs werden f und g oft als periodisch fortgesetzt angenommen, damit der Faktor g(t - $τ$ ) stets definiert ist. Oft werden auch f und g stattdessen durch Null fortgesetzt.

Bedeutung

Die Faltung ist ein geeignetes Modell zur Beschreibung zahlreicher physikalischer Vorgänge.

Die lineare Filterung eines elektronischen Signals stellt die Faltung der Original-Funktion mit der Impulsantwort dar.

Bei optischen Abbildungen stellt das Bild die Faltung der originalen Bildfunktion mit der Punkt-Verbreiterungs-Funktion (Point Spread Function oder PSF) dar (Unschärfe).

Diffusions-Prozesse lassen sich durch die Faltung ebenfalls beschreiben.

Wenn X und Y zwei statistisch unabhängige Zufallsprozesse mit den Verteilungsdichtefunktionen f und g sind, dann ist die Verteilungsdichtefunktion des Summenprozesses X+Y gegeben als $f * g$ .

Eine anschauliche Deutung der Faltung ist die Gewichtung einer Funktion mit einer anderen. Der Funktionswert der Gewichtsfunktion an einer Stelle $t$ gibt an, wie stark der um $t$ zurückliegende Wert der gewichteten Funktion in den Wert der Ergebnisfunktion eingeht.

Bei einem linearen, zeitinvarianten Übertragungsglied ergibt sich die Antwort auf eine Anregung durch Faltung der Anregungsfunktion mit der Impulsantwort des Übertragungsglieds.

Diskrete Faltung

In der Digitalen Signalverarbeitung und der digitalen Bildverarbeitung hat man es meist mit diskreten Funktionen zu tun. Die diskrete Faltung ist definiert als:

(f * g)(n) = \sum f (k) g (n - k) k

Auch dabei hängen die Summationsgrenzen von der Art der Funktionen f,g: D -> C ab (dabei ist D Teilmenge von Z).

Das Produkt zweier Polynome f und g ist z.B. die diskrete Faltung ihrer mit Nullen fortgesetzten Koeffizientenfolgen. Die dabei auftretenden unendlichen Reihen haben stets nur endlich viele Nichtnull-Summanden. Analog definiert man das Produkt zweier formaler Laurentreihen mit endlichem Hauptteil.

Eine Rechenleistungs-effiziente Implementation der diskreten Faltung ist die sog. Schnelle Faltung, die sich des FFT-Algorithmus zur Berechnung bedient.

Eine interaktive Visualisierung als Java-Applet ist hierzu zu finden unter [1].

Glättungskern

Eine schöne Methode, eine Funktion f zu „glätten“, besteht darin, sie mit einem so genannten Glättungskern zu falten. Die entstehende Funktion F ist glatt (unendlich oft stetig differenzierbar), ihr Träger ist nur etwas größer als der von f, und die Abweichung in der L1-Norm lässt sich durch eine vorgegebene positive Konstante beschränken.

Ein d-dimensionaler Glättungskern (engl. mollifier) ist eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion j: R^d -> R, die nichtnegativ ist, ihren Träger in der abgeschlossenen Einheitskugel B(0, 1) hat und das Integral 1 hat.

Ein Beispiel ist der Glättungskern

$j(x) = \begin{cases} \exp(\frac{-1}{1-|x|^2}) & -1 < x < 1 \\ 0 & \mathrm{ sonst} \end{cases}$

Aus dieser Funktion kann man weitere Glättungskerne bilden, indem man für eine Zahl e zwischen 0 und 1 setzt:

$j_e(x) = \frac{1}{e^d}j(\frac{x}{e})$ .

Glaettungskerne j und j_1/2
Glättungskerne j und j_1/2

Beispiele

Sei f: R -> R mit

$f(x) = \begin{cases} 1 & -1 \le x \le 2 \\ 0 & \mathrm{ sonst} \end{cases}$ .

(Rot dargestellt.)

Die Faltung F:=f * j_1/2 ist eine glatte Funktion mit kompaktem Träger, die von f in der Integralnorm (L₁-Norm) um etwa 0,4 abweicht, d.h.

$\int |F(t)-f(t)| dt < 0.4$ .

(Blau dargestellt.)

Glaettung durch Faltung

Bei der Faltung mit kleinerem e statt e=1/2 erhält man glatte Funktionen, die in der Integralnorm noch dichter bei f liegen.

Eigenschaften der Faltung

Kommutativität

f * g = g * f

Assoziativität

f * (g * h) = (f * g) * h = f * g * h

Distributivität

f * (g + h) = (f * g) + (f * h)

Assoziativität mit der skalaren Multiplikation

a (f * g) = (a f) * g = f * (a g)

Wobei a eine beliebige komplexe Zahl ist.

Faltungstheorem

$\mathcal{F}(f*g) = \sqrt{2 \pi} \, (\mathcal{F}f)\cdot(\mathcal{F}g)$

Wobei $\mathcal{F}f$ die Fouriertransformierte von

f

beschreibt. Ein ähnliches Theorem gilt auch für die Laplacetransformation.

Ableitungsregel

D(f * g) = Df * g = f * Dg

Dabei ist Df die Ableitung f ' von f bzw. im diskreten Fall die Differenz Df(n) = f(n+1) - f(n).

Faltung mit speziellen Funktionen
- $f (x) * δ(x) = f (x)$ , wobei $δ$ die Delta-Distribution ist.
- $f (x)*\sigma (x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) dt$ , wobei $σ$ die Sprungfunktion ist.

Verallgemeinerungen

Die beiden Faltungsbegriffe können gemeinsam beschrieben und verallgemeinert werden durch einen allgemeinen Faltungsbegriff für komplexwertige m-integrierbare Funktionen auf einer geeigneten topologischen Gruppe G mit einem Maß m (z.B. einer lokalkompakten hausdorffschen topologischen Gruppe mit einem Haar-Maß):

(f * g)(x) = \int f (t) g (x t - 1) d m (t) G

Dieser Faltungsbegriff spielt eine zentrale Rolle in der Darstellungstheorie dieser Gruppen, deren wichtigste Vertreter die Liegruppen bilden. Die Algebra der integrierbaren Funktionen mit dem Faltungsprodukt ist für kompakte Gruppen das Analogon zum Gruppenring einer endlichen Gruppe. Weiterführende Themen sind:

Satz von Peter-Weyl
Harmonische Analysis

Eine andere Verallgemeinerung ist die Faltung von Distributionen.

Anwendung

In der Akustik (Musik) wird die Faltung (unter Zuhilfenahme der FFT = schnelle Fouriertransformation) auch zur digitalen Erzeugung von Hall und Echos und zur Anpassung von Klangeigenschaften verwendet. Dazu wird die Impulsantwort des Raumes, dessen Klangcharakteristik man übernehmen möchte, mit dem Signal, das man beeinflussen möchte, gefaltet.

In der Ingenieurmathematik und der Signalverarbeitung werden Eingangssignale (Äußere Einflüsse) mit der Übertragungsfunktion (Einheitsantwort, Pulsantwort, Reaktion des betrachteten Systems auf die Einheitssprungfunktion am Eingang) gefaltet, um die Antwort eines Systems auf beliebige Eingangssignale zu berechnen. Dazu werden eigentlich immer die Fourier- oder Laplacetransformierten dieser beiden Funktionen verwendet.

In der numerischen Mathematik erhält man durch Faltung der Boxfunktion $N 0 (t)$ mit $N k - 1 (t)$ die B-Spline Basisfunktion $N k (t)$ für den Vektorraum der stückweisen Polynome vom Grad k.

Siehe auch

Ähnlich dem Korrelationsoperator, aber nicht mit diesem zu verwechseln!

Weblinks

http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html Schöne, anschauliche und interaktive Visualisierung der Faltung als Java-Applet

(f * g)(n) =	∑	f(k)g(n − k)
	k

(f * g)(x) =	∫	f(t)g(xt^{− 1})dm(t)
	G