Faserbündel

Ein Faserbündel ist in der Mathematik, speziell in der Topologie, ein Raum, der lokal wie ein Produkt zweier Räume aussieht, aber eine unterschiedliche globale Struktur besitzt. Jedes Faserbündel besteht aus einer stetigen surjektiven Abbildung π: E → B, so dass E sich lokal als B × F darstellen läßt. F bezeichnet man als Faser. Lokal bedeutet, daß die Produktstruktur in jeder Umgebung eines Punktes in B darstellen läßt.

Spezielle Faserbündel sind z.B. Vektorbündel, welche eine fundamentale Rolle bei der mathematischen Formulierung der physikalischen Eichtheorie spielen.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

Definition

Ein Faserbündel wird durch die Daten (E, B, π, F) spezifiziert, wobei E, B und F topologische Räume sind und die Projektion π : E → B eine stetige surjektive Abbildung ist, welche lokal trivialisierbar ist, i.e. es existiert für jeden Punkt x in B eine offene Umgebung U, so daß π⁻¹(U) homöomorph zur Produkttopologie U × F ist, also das folgende Diagramm kommutiert:

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Local triviality condition

wobei proj₁: U × F → U die natürliche Projektion auf den ersten Faktor und φ: π⁻¹(U) → U × F ein Homöomorphismus ist. Die Menge aller {(U_i, φ_i)} nennt man lokale Trivialisierung des Bündels.

Für jedes x aus B ist das Urbild π⁻¹(x) homöomorph zu F und heißt Faser über x. Ein Faserbündel (E, B, π, F) wird oft durch die kurze exakte Sequenz

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Image:FiberBundle-02.png

dargestellt. Man beachte, daß jedes Faserbündel π: E → B eine offene Abbildung ist, da Projektionen von Produkten offene Abbildungen sind. Daher trägt B die durch die Abbildung π induzierte Quotiententopologie.

Beispiele

[[Bild:MobiusStrip-01.png|thumb|left|Das Möbiusband ist ein nichttriviales Bündel über S¹ mit Faser [0,1].]] [[Bild:KleinBottle-01.png|thumb|right|Die Kleinsche Flasche ist ein nichttriviales Bündel über S¹ mit Faser S¹.]] Sei E = B × F und π: E → B die Projektion auf den ersten Faktor. Dann ist E ein Faserbündel über B mit Faser F. In diesem Fall ist E nicht nur lokal ein Produktraum, sondern sogar global. Solch ein Faserbündel bezeichnet man als triviales Bündel.

Das einfachste Beispiel eines nichttrivialen Bündels ist das Möbiusband. Die Basis ist hier $S 1$ (die Kreislinie), die Faser ein offenes Intervall. Das entsprechende triviale Bündel wäre ein Zylinder, von dem sich das Möbiusband durch ein Verdrehen der Faser unterscheidet. Diese Verdrehung ist nur global sichtbar, lokal sind Zylinder und Möbiusband identisch.

Ein ähnliches nichttriviales Bündel ist die Kleinsche Flasche, welche eine $S 1$ -Faserung über $S 1$ darstellt. Das entsprechende triviale Bündel wäre ein Torus.

Jede Überlagerung ist ein Faserbündel mit einer diskreten Faser.

Eine spezielle Klasse von Faserbündeln, die Vektorbündel, sind dadurch ausgezeichnet, daß ihre Fasern Vektorräume sind. Wichtige Beispiele sind hier die Tangential- und Kotangentialbündel einer Mannigfaltigkeit.

Eine weitere spezielle Klasse von Fasrbündeln sind die Prinzipalbündel.

Schnitte

Unter einem globalen Schnitt versteht amn eine stetige Abbildung f : B → E, so daß π(f(x))=x für alle x aus B. Die Theorie der charakteristischen Klassen in der Algebraischen Topologie beschäftigt sich mit der Existenz von globalen Schnitten.

Oft kann man Schnitte nur lokal definieren. Ein lokaler Schnitt ist eine stetige Abbildung f : U → E, wobei U eine offene Menge in B ist und π(f(x))=x für alle x aus U. Für eine lokale Trivialisierung (U,φ) ist dies immer möglich. Diese Schnitte sind äquivalent mit stetigen Abbildungen U → F, welche eine Garbe bilden.

Strukturgruppen

Faserbündel tragen oft eine Gruppenstruktur in Form einer Symmetriegruppe, welche die "Verklebungsbedingungen" zwischen lokaklen Trivialisierungen beschreibt. Sei G eine topologische Gruppe, welche von frei auf die Faser F von links wirkt. Ein G-Atlas des Bündels (E, B, π, F) ist eine lokale Trivialisierung, so daß für je zwei überlappende Karten (U_i, φ_i) und (U_j, φ_j) die Funktion

$\phi_i\phi_j^{-1} : (U_i \cap U_j) \times F \to (U_i \cap U_j) \times F$

durch

$\phi_i\phi_j^{-1}(x, \xi) = (x, t_{ij}(x)\xi)$

gegeben ist, wobei $t_{ij} : U_i \cap U_j \to G$ eine stetige Abbildung ist. Zwei G-Atlanten sind äquivalent, falls ihre Vereinigung ebenfalls ein G-Atlas ist. Ein G-bundle ist ein Faserbündel zusammen mit einer Äquivalenzklasse von G-Atlanten. Die Gruppe G bezeichnet man als die Strukturgruppe des Bündels.

Die Funktionen t_ij erfüllen die folgenden Bedingungen

$t i i (x) = 1$
$t i j (x) = t j i (x) - 1$
$t i k (x) = t i j (x) t j k (x)$

Die dritte Bedingung bezieht sich auf dreifache Überlappungen $U_i \cap U_j \cap U_k$ und wird als Cozykel Bedingung bezeichnet (siehe auch Čech Cohomologie)

Ein Prinzipalbündel ist ein G-Bündel bei dem die Faser mit G identifiziert wird und auf dem eine Wirkung von G von rechts auf den Totalraum definiert ist, welche die Faser erhält.

Siehe auch

Faserung
Eichtheorie

Weblinks

Literatur

Norman Steenrod, The Topology of Fiber Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7. See chapter one.