Fast alle
Fast alle ist in der Mathematik eine Abkürzung für alle bis auf endlich viele.
Verwechslungsgefahr: "Fast alle" ist nicht dasselbe wie fast überall.
"Fast alle" wird insbesondere in der Analysis bei der Untersuchung von unendlichen Folgen (an) gebraucht im Sinne von:
- Es gibt ein N∈ℕ, so dass für alle n>N die Eigenschaft ... für an gilt.
Eng verwandt damit ist die Formulierung unendlich viele. Diese ist eine Kurzform für
- Für jedes N∈ℕ gibt es ein n>N, so dass ... für an erfüllt ist.
Beispiele
- Fast alle natürlichen Zahlen sind größer als 8. bedeutet Es gibt endlich viele natürliche Zahlen, die nicht größer als 8 sind, und alle anderen natürlichen Zahlen sind größer als 8.
- Es gibt unendlich viele durch 3 teilbare natürliche Zahlen, genauso wie es unendlich viele nicht durch 3 teilbare gibt.
- Eine reelle Zahlenfolge (an) in
:
- hat einen Häufungspunkt b, wenn für jedes ε>0 unendlich viele Folgenglieder im Intervall (b-ε,b+ε) liegen.
- Sind zusätzlich für jedes ε>0 fast alle Folgenglieder kleiner als b+ε, so heißt b oberster Häufungspunkt oder Limes superior.
- ist konvergent mit Grenzwert a, wenn für jedes ε>0 fast alle Folgenglieder im Intervall (a-ε,a+ε) liegen.
- hat einen Häufungspunkt b, wenn für jedes ε>0 unendlich viele Folgenglieder im Intervall (b-ε,b+ε) liegen.
Das Endlichkeits-Paradoxon
Während es im Zusammenhang mit unendlichen Mengen paradoxe Eigenschaften gibt, welche dem „gesunden Hausverstand“ zuwiderlaufen – so können z.B. nur in unendlichen Mengen echte Teilmengen gleichmächtig wie die Menge selber sein, also gleichviel Elemente haben, obwohl in der Teilmenge Elemente fehlen – so schafft die Definition von fast alle Paradoxien, wenn sie auf endliche Mengen angewandt wird:
Die Aussage
Fast alle natürlichen Zahlen zwischen 1 und 1000 sind kleiner als zwei
ist richtig!
Denn diese Aussage gilt für alle Zahlen von 1 bis 1000 mit Ausnahme der 999 (endlich vielen!) Zahlen 2 bis 1000 und erfüllt damit die Definition von fast alle.