Fourierreihe

Als Fourierreihe (nach Jean Baptiste Joseph Fourier) einer stetigen periodischen Funktion f(x) bezeichnet man deren Entwicklung in eine Funktionenreihe aus Sinus- und Kosinusfunktionen.

Die Basisfunktionen der Fourierreihe bilden das bekannteste Beispiel für ein orthogonales Funktionensystem.

Inhaltsverzeichnis

1 Darstellungsformen

1.1 Allgemeine Form (reelle Fourierreihe)
1.2 Amplituden-Phasen-Notation
1.3 Komplexe Fourierreihe
1.4 Zusammenhang zwischen reellen und komplexen Fourierkoeffizienten

2 Beispiele

2.1 Dreieckpuls
2.2 Sägezahnpuls

3 Gibbssches Phänomen

4 Weblinks

Darstellungsformen

Allgemeine Form (reelle Fourierreihe)

Eine stetige periodische Funktion f (mit Periode T>0 ) läßt sich annähern durch eine Summe von Sinus- und Cosinusschwingungen, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz ω=2π/T sind. Die Kreisfrequenz ω "skaliert" hierbei die Periode 2π von Sinus und Cosinus auf die entsprechende Periode T.

$f(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cdot \cos(n \omega t) + b_n \cdot \sin(n\omega t))$

Dabei sind

$\omega=\frac{2\pi}{T},$

a 0

der Gleichanteil (wechsellose Größe oder auch Anteil der Frequenz

f 0 = 0

)

$a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t$ und $b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cdot \sin(n\omega t)\, \mathrm{d}t$

Amplituden-Phasen-Notation

In der obigen Darstellung wird das Signal mit Hilfe eines Sinusspektrums und eines Cosinusspektrums dargestellt. Da man die additive Überlagerung einer Sinus- und einer Cosinusschwingung auch als phasenverschobene Cosinusschwingung darstellen kann, bietet sich auch folgende Schreibweise an. Hier wird das Signal mit Hilfe eines Phasenspektrums und eines Amplitudenspektrums dargestellt.

$f(t)=\frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (A_n \cos(n\omega t + \varphi_n))$

Dabei ist

$A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$ und

$\varphi_n=\arctan{\frac {a_n} {b_n}}+k\pi$ ,

wobei k so gewählt ist, dass $\varphi_n$ in den Quadranten zeigt, in welchem auch der Punkt $(a n, b n)$ liegt.

Komplexe Fourierreihe

Man kann nun jedes Paar von Amplitude und Verschiebung als komplexe Zahl in Polarkoordinatendarstellung interpretieren. Damit lassen sich die beiden Spektren in eines überführen.

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\omega t}$

Dabei ist

$c_n =\frac1T\int_{-T/2}^{T/2} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\omega t} dt$

Zusammenhang zwischen reellen und komplexen Fourierkoeffizienten

$c_0 = \frac{a_0}{2}$

Parser-Fehler (die PNG-Konvertierung schlug fehl.): c_n = \frac{(a_n - \mathrm{i} b_n)}{2} \mbox{ für }n>0

Parser-Fehler (die PNG-Konvertierung schlug fehl.): c_n = \frac{(a_{-n} + \mathrm{i} b_{-n})}{2} \mbox{ für } n<0

a 0 = 2 c 0

a n = c n + c - n

b n = i(c n - c - n)

Beispiele

Dreieckpuls

Da der Dreieckimpulszug ein gerades (also achsensymmetrisches) Signal ist, lässt er sich ausschließlich mit Cosinustermen approximieren:

$f(t)= \frac{8}{\pi^2}\begin{bmatrix} {\cos {\omega t} + \frac {1}{3^2}\cos{3 \omega t} + \frac {1}{5^2}\cos {5 \omega t} + \ldots}\end{bmatrix}$

Sägezahnpuls

Ebenso lassen sich punktsymmetrische Funktionen ausschließlich aus Sinustermen approximieren:

$f(t)=- \frac{2}{\pi}\begin{bmatrix} {\sin {\omega t} + \frac {1}{2}\sin{2 \omega t} + \frac {1}{3}\sin {3 \omega t} + \ldots}\end{bmatrix}$

Gibbssches Phänomen

thumb|256px|Gibbssches Phänomen bei einer Rechteckskurve Das Gibbssche Phänomen beschreibt das Verhalten von Fourierreihen in der Umgebung von Sprungsstellen. Entwickelt man eine Fourierreihe aus einer unstetigen Funktion, so ergeben sich an den Unstetigkeitsstellen typische Über- und Unterschwinger, die sich auch dann nicht verringern, wenn man versucht die Funktion noch besser zu approximieren.

Die Höhe des ersten Überschwingers nähert sich

${{2 \cdot h \cdot 0,281} \over {\pi}} = 0,1789 \cdot h$

Das sind ungefähr 18 % der Sprunghöhe. Der Effekt wurde nach seinem Entdecker dem amerikanischen Physiker Josiah Willard Gibbs benannt.

Siehe auch: Diskrete Fourier-Transformation

Weblinks

Falstad Fourier Series Java Applet Mit diesem Java-Applet kann man sich zeigen lassen, wie Fourier-Reihen entwickelt werden.