Funktionentheorie

Die Funktionentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie befasst sich hauptsächlich mit differenzierbaren komplexwertigen Funktionen komplexer Variablen, und ist damit ein Analogon der reellen Analysis.

Inhaltsverzeichnis

1 Komplexe Funktionen

2 Komplexe Differenzierbarkeit

3 Holomorphe Funktionen

4 Äquivalente Definitionen Holomorpher Funktionen

5 Meromorphe Funktionen

6 Funktionen mit wesentlichen Singularitäten

7 Funktionentheoretische Methoden in anderen mathematischen Teilgebieten

8 Weitere wichtige Themen und Ergebnisse

9 Funktionentheorie mehrerer Variablen

10 Siehe auch

10.1 Grundlagen
10.2 Wichtige Sätze
10.3 Ganze Funktionen
10.4 Meromorphe Funktionen

Komplexe Funktionen

Eine komplexe Funktion ordnet einer komplexen Zahl eine weitere komplexe Zahl zu. Da jede komplexe Zahl durch zwei reelle Zahlen in der Form x + iy geschrieben werden kann, sieht eine allgemeine Form einer komplexen Funktion so aus

$x + iy \to u(x,y) + i v(x,y)$ .

Hier sind u(x,y) und v(x,y) reelle Funktionen, die von zwei rellen Variablen x,y abhängen. u(x,y) heißt der Realteil und v(x,y) der Imaginärteil der Funktion. Insofern unterscheidet sich eine komplexe Funktion nicht von einer reellen Abbildung von $\mathbb{R}^2$ nach $\mathbb{R}^2$ (also einer Abbildung, die zwei reellen Zahlen wieder zwei reelle Zahlen zuordnet). Tatsächlich könnte man die ganze Funktionentheorie auch mit reeller Analysis behandeln. Der Unterschied zur reellen Analysis wird erst deutlicher, wenn man komplex differenzierbare Funktionen betrachtet.

Komplexe Differenzierbarkeit

Der Differenzierbarkeitsbegriff der eindimensionalen reellen Analysis wird in der Funktionentheorie zur komplexen Differenzierbarkeit erweitert. Analog zum reellen Fall definiert man: Eine Funktion heißt komplex differenzierbar, falls der folgende Grenzwert existiert:

$f'(a) = \lim_{w \to 0}\frac{f(a+w) - f(a)}{w}$ .

Für eine exakte Definition muss $f$ dabei in einer Umgebung von $a$ definiert sein. Für den Grenzwert muss dabei der komplexe Abstandsbegriff verwendet werden:

$|(x_1 + i y_1) - (x_2 + i y_2) | = \sqrt{ (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$ .

Damit sind für komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen zwei verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe definiert: die komplexe Differenzierbarkeit und die Differenzierbarkeit der zweidimensionalen reellen Analysis (reelle Differenzierbarkeit). Komplex differenzierbare Funktionen sind auch reell differenzierbar, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Holomorphe Funktionen

Funktionen, die in einer Umgebung eines Punktes komplex differenzierbar sind, nennt man holomorphe Funktionen. Diese haben eine Reihe hervorragender Eigenschaften, die es rechtfertigen, dass sich eine eigene Theorie hauptsächlich damit beschäftigt - eben die Funktionentheorie. Zum Beispiel ist eine Funktion, die einmal komplex differenzierbar ist, automatisch beliebig oft komplex differenzierbar! (Im Gegensatz zum reellen Fall).

Äquivalente Definitionen Holomorpher Funktionen

In einer Umgebung einer komplexen Zahl sind folgende Eigenschaften komplexer Funktionen gleichwertig:

Eine Funktion ist einmal komplex differenzierbar
Eine Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar
Real- und Imaginärteil erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und sind zumindest einmal reell stetig differenzierbar
Die Funktion lässt sich in eine komplexe Potenzreihe entwickeln
Das Wegintegral der Funktion über einen beliebigen geschlossenen zusammenziehbaren Weg verschwindet.
Die Funktionswerte im Inneren einer Kreisscheibe lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel ermitteln.
Es gilt $\frac{\partial f}{\partial \bar z}=0$ mit $\frac\partial{\partial\bar z}=\frac12\Big(\frac\partial{\partial x}+\mathrm i\frac\partial{\partial y}\Big).$

Holomorphe Funktionen sind somit die angenehmsten Funktionen, die es in der Mathematik gibt: Sie sind beliebig oft differenzierbar, können in eine Potenzreihe (Taylor-Reihe) entwickelt werden und vieles mehr. Fast alle Funktionen, die aus der Schulmathematik bekannt sind, sind Real- oder Imaginärteil einer komplexen Funktion (zumindest auf einem Teil der komplexen Ebene): Insbesondere gilt das für Polynome, rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen (Sinus, Kosinus), Exponentialfunktion, Logarithmus, und Wurzelfunktionen.

Meromorphe Funktionen

Meromorphe Funktionen sind bis auf isolierte Polstellen holomorph. Sie lassen sich in Laurentreihen entwickeln, die aber nur endlich viele Reihenglieder besitzen, bei denen Potenzen mit negativen Exponenten vorkommen.

Funktionen mit wesentlichen Singularitäten

Neben holomorphen und meromorphen Funktionen gibt es in der Funktionentheorie Funktionen mit wesentlichen Singularitäten. Sie sind dadurch charakterisiert, dass eine Funktion in der Umgebung einer wesentlichen Singularität jeden beliebigen komplexen Zahlenwert mit höchstens einer Ausnahme annehmen kann (Satz von Picard). Funktionen mit wesentlichen Singularitäten haben eine nicht abbrechende Laurententwicklung für Potenzen mit negativen Exponenten.

Funktionentheoretische Methoden in anderen mathematischen Teilgebieten

Reelle Funktionen, die sich in eine Potenzreihe entwickeln lassen, sind auch Realteil einer holomorphen Funktion. Damit lassen sich diese Funktionen auf die komplexe Ebene erweitern. Durch diese Erweiterung kann man oft Zusammenhänge und Eigenschaften von Funktionen finden, die im Reellen verborgen bleiben, zum Beispiel die Eulersche Identität. Hierüber erschließen sich vielfältige Anwendungsbereiche in der Physik (beispielsweise in der Quantenmechanik die Darstellung von Wellenfunktionen, sowie in der Elektrotechnik zweidimensionale Strom-Spannungs-Diagramme). Diese Identität ist auch die Basis für die komplexe Form der Fouriertransformation. In vielen Fällen lässt sich diese einfach durch komplexe Analysis berechnen.

Für holomorphe Funktionen gilt, dass Real- und Imaginärteil harmonische Funktionen sind, also die Laplace-Gleichung erfüllen. Dies verknüpft die Funktionentheorie mit den partiellen Differentialgleichungen, beide Gebiete haben sich regelmäßig gegenseitig beeinflusst.

Das Wegintegral einer holomorphen Funktione ist vom Weg unahängig. Dies war historisch das erste Beispiel einer Homotopieinvarianz. Aus diesem Aspekt der Funktionentheorie entstanden viele Ideen der algebraischen Topologie.

Außerdem kann man die Wegunabhängigkeit verwenden, um reelle Integrale zu berechnen, indem man die Integration in der komplexen Ebene durchführt. (siehe Residuensatz).

Weitere wichtige Themen und Ergebnisse

Wichtige Ergebnisse sind der Cauchysche Integralsatz, der Residuensatz und der Riemannsche Abbildungssatz. Ein weiteres wichtiges Ergebnis ist der Fundamentalsatz der Algebra. Er besagt, dass sich ein Polynom im Bereich der komplexen Zahlen vollständig in Linearfaktoren zerlegen lässt. Für Polynome im Bereich der reellen Zahlen ist dies im Allgemeinen nicht möglich.

Weitere wichtige Forschungsschwerpunkte sind die analytische Fortsetzbarkeit von holomorphen und meromorphen Funktionen auf die Grenzen ihres Definitionsbereiches und darüber hinaus.