Garbe

Dieser Artikel beschreibt den mathematischen Begriff "Garbe". In der umgangssprachlichen Bedeutung ist eine Garbe ein nach der Ernte gebündeltes und zum Trocknen aufgestelltes Bündel aus Kornähren.

Eine Garbe ist ein Begriff aus verschiedenen Gebieten der Mathematik. Eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum besteht aus je einer abelschen Gruppe zu jeder offenen Teilmenge des Basisraumes und kompatiblen Einschränkungshomomorphismen zwischen diesen abelschen Gruppen. Entsprechend besteht eine Garbe von Ringen aus einem Ring für jede offene Teilmenge und Ringhomomorphismen. Das einfachste Beispiel einer Garbe ist die Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen auf offenen Teilmengen eines topologischen Raumes zusammen mit der Einschränkung der Funktionen auf kleinere offene Teilmengen.

Inhaltsverzeichnis

1 Definitionen

1.1 Kurz und abstrakt
1.2 Ausführlicher

2 Halme und Keime

3 Vergarbung

4 Direkte Bilder und Urbildgarben

5 Der étale Raum einer Garbe

6 Beispiele

7 Weiterführende Bemerkungen

Definitionen

Kurz und abstrakt

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Die Kategorie $\mathbf{Ouv}(X)$ habe als Objekte die offenen Teilmengen von $X$ und als Morphismen die Inklusionen. Eine Prägarbe $\mathcal F$ auf $X$ mit Werten in einer Kategorie $C$ ist ein kontravarianter Funktor $\mathbf{Ouv}(X)\to C$ . Eine Prägarbe $\mathcal F$ heißt Garbe, falls das folgende Diagramm für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ und jede Überdeckung ${V i}$ von $U$ exakt ist:

$\mathcal F(U)\rightarrow \prod\mathcal F(V_i)\,\begin{matrix}\rightarrow\\[-,7em]\rightarrow\end{matrix}\,\prod\mathcal F(V_i\cap V_j),$

d.h. dass $\mathcal F(U)$ der Differenzkern der beiden rechten Pfeile ist.

Die Elemente von $\mathcal F(U)$ heißen (lokale) Schnitte von $\mathcal F$ über $U$ , die Elemente von $\mathcal F(X)$ globale Schnitte. Statt $\mathcal F(U)$ schreibt man auch $\Gamma(U,\mathcal F).$

(Der Begriff "Garbe" ist nur definiert, wenn $C$ Produkte besitzt.)

Ausführlicher

(Um die Definition des Begriffes "Garbe" zu verstehen, ist es am besten, sich das Beispiel der Garbe der stetigen Funktionen vorzustellen: $F (U)$ ist die Menge der stetigen Funktionen $U\to\mathbb R$ , die Einschränkungsabbildungen sind einfach die Einschränkungen der Funktionen auf kleinere Bereiche.)

Eine Prägarbe besteht aus einer Menge (bzw. abelschen Gruppe, Modul, Ring) $\mathcal F(U)$ für jede offene Teilmenge $U\subseteq X$ zusammen mit Einschränkungsabbildungen $\rho^U_V\colon\mathcal F(U)\to\mathcal F(V)$ für zwei offene Teilmengen $V\subseteq U$ ; dabei müssen die Einschränkungsabildungen in der "offensichtlichen" Weise zusammenpassen:

$\rho^U_U=\mathrm{id}_{\mathcal F(U)}$
$\rho^V_W\circ \rho^U_V=\rho^U_W$ für offene Teilmengen $W\subseteq V\subseteq U.$

Für die Einschränkung $\rho^U_V(f)$ eines Schnittes $f\in\mathcal F(U)$ auf eine offene Teilmenge $V\subseteq U$ schreibt man auch $f | V$ .

Eine Garbe ist eine Prägarbe, bei der die Daten "lokal" sind, d.h. die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

Lokale Übereinstimmung impliziert globale Übereinstimmung: Sind $f$ und $g$ Schnitte von $\mathcal F$ über $U$ und ${V i}$ eine Überdeckung von $U$ , und gilt

$f|_{V_i}=g|_{V_i}$

für alle

i

, so gilt

f = g

Zusammenpassende lokale Daten lassen sich "verkleben": Sind Schnitte $f_i\in\mathcal F(V_i)$ gegeben, so dass die Einschränkungen von $f i$ und $f j$ auf $V_i\cap V_j$ übereinstimmen, so gibt es einen Schnitt $f\in\mathcal F(U)$ , so dass

$f_i=f|_{V_i}$

für alle

i

gilt.

Aus der ersten Bedingung folgt, dass $f$ in der zweiten Bedingung durch die $f i$ eindeutig bestimmt ist.

Halme und Keime

Es sei $C$ eine Kategorie algebraischer Strukturen, die durch endliche projektive Limites definiert sind, also z.B. (abelsche) Gruppen, Ringe, Moduln. Insbesondere existieren pseudofiltrierende Kolimites in $C$ , und ihre zugrundeliegenden Mengen stimmen mit den Kolimites der zugrundeliegenden Mengen der Einzelobjekte überein.

Für jeden Punkt $x\in X$ ist der Halm $\mathcal F_x$ einer Prägarbe $\mathcal F$ im Punkt $x$ definiert als

$\mathcal F_x=\operatorname{colim}_{V\ni x}\mathcal F(V).$

Elemente des Halms heißen Keime.

Keime sind also Äquivalenzklassen von lokalen Schnitten über offenen Umgebungen von $x$ , wobei Schnitte äquivalent sind, wenn sie bei Einschränkung auf eine kleinere Umgebung gleich werden.

Vergarbung

Ist $\mathcal F$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum $X$ , so gibt es eine Garbe $\mathbf a\mathcal F$ , die Vergarbung von oder assoziierte Garbe zu $\mathcal F$ so dass für jede Garbe $\mathcal G$

$\mathrm{Hom}_{\mathrm{(Garben)}}(\mathbf a\mathcal F,\mathcal G)=\mathrm{Hom}_{\mathrm{(Pr\ddot agarben)}}(\mathcal F,\mathcal G)$

gilt. $\mathbf a$ ist also linksadjungiert zum Vergissfunktor $\mathrm{(Garben)}\to\mathrm{(Pr\ddot agarben)}.$

Es gibt keine einheitliche Notation für den Vergarbungsfunktor.

Direkte Bilder und Urbildgarben

Ist $\mathcal F$ eine Garbe auf einem topologischen Raum $X$ und $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung, so ist

$U\mapsto\mathcal F(f^{-1}(U)),\quad U\subseteq Y\ \mathrm{offen}$

eine Garbe auf $Y$ , die mit $f_*\mathcal F$ bezeichnet wird und direktes Bild oder auch Bildgarbe von $\mathcal F$ unter $f$ heißt.

Ist $\mathcal G$ eine Garbe auf $Y$ , so ist die assoziierte Garbe zu

$U\mapsto\operatorname{colim}_{V\supseteq f(U)}\mathcal G(V)$

eine Garbe auf $X$ , die Urbildgarbe, die mit $f^{-1}\mathcal G$ bezeichnet wird.

Ist $g\colon Y\to Z$ eine weitere stetige Abbildung, so sind die Funktoren

(g f) *

und

g * f *

sowie die Funktoren

(g f) - 1

und

f - 1 g - 1

natürlich äquivalent.

Die Funktoren $f *$ und $f - 1$ sind adjungiert: Ist $\mathcal F$ eine Garbe auf $X$ und $\mathcal G$ eine Garbe auf $Y$ , so ist

$\mathrm{Hom}(f^{-1}\mathcal G,\mathcal F)=\mathrm{Hom}(\mathcal G,f_*\mathcal F).$

Halme sind spezielle Garbenurbilder: Bezeichnet $i y$ die Inklusion $\{y\}\to Y$ eines Punktes, so ist

$\mathcal G_y=i_y^{-1}\mathcal G;$

dabei wurde die Garbe $i_y^{-1}\mathcal G$ auf dem einpunktigen Raum ${y}$ mit ihren globalen Schnitten identifiziert. Infolgedessen ist das Garbenurbild ist kompatibel mit Halmen:

$(f^{-1}\mathcal G)_x=\mathcal G_{f(x)}.$

Diese Beziehung ist auch der Grund dafür, dass $f - 1$ trotz der komplizierteren Definition der einfacher zu verstehende Funktor ist: in einem gewissen Sinn ist Kohomologie das Studium des Funktors $f *$ .

Der étale Raum einer Garbe

Zu einer Garbe $\mathcal F$ von Mengen sei ein topologischer Raum $E$ über $X$ wie folgt definiert:

Die zugrundeliegende Menge ist die disjunkte Vereinigung aller Halme von $\mathcal F$ ; die Abbildung $E\to X$ bilde $\mathcal F_x$ auf $x\in X$ ab.
Die Topologie auf $E$ ist die stärkste Topologie, für die die Abbildungen

$U\to E,\quad x\mapsto f_x$

für jeden Schnitt $f\in\mathcal F(U)$ über einer offenen Menge $U\subseteq X$ stetig sind.

Dann gibt es eine Bijektion zwischen den Schnitten von $\mathcal F$ über einer offenen Menge $U\subseteq X$ und den Schnitten von $\pi\colon E\to X$ über $U$ , d.h. den stetigen Abbildungen $s\colon U\to E$ , für die $\pi\circ s$ gleich der Inklusion $U\subseteq X$ ist.

Beispiele

Die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger bilden keine Prägarbe, weil die Einschränkung einer Funktion mit kompaktem Träger auf eine offene Teilmenge im Allgemeinen nicht wieder kompakten Träger hat.

Die Prägarbe, die jeder offenen Teilmenge von $\mathbb R$ die abelsche Gruppe $\mathbb Z$ zuordnet, ist keine Garbe: Ist $U=U_1\cap U_2$ mit $U 1 = (1,2)$ und $U 2 = (3,4)$ , so lassen sich der Schnitt $5$ über $U 1$ und der Schnitt $7$ über $U 2$ nicht zu einem Schnitt über $U$ "verkleben".

Die Garbe $\mathcal O$ der holomorphen Funktionen auf $\mathbb C$ ist eine Garbe von Ringen (eine "Ringgarbe"): der Halm im Nullpunkt kann mit dem Ring der konvergenten Potenzreihen $\mathbb C\{z\}$ identifiziert werden, d.h. der Potenzreihen, deren Konvergenzradius nicht Null ist. Die anderen Halme entstehen durch Koordinatenwechsel (d.h. ersetze $z$ durch $z - a$ ).

Es sei $X = {η, s}$ der topologische Raum mit zwei Punkten, von denen $s$ abgeschlossen ist und $η$ nicht. Dann ist eine Garbe durch die zwei Mengen $M=\Gamma(X,\mathcal F)$ und $N=\Gamma(\{\eta\},\mathcal F)$ zusammen mit einer Abbildung $\rho\colon M\to N$ bestimmt, und umgekehrt kann man diese Daten beliebig vorgeben und erhält eine Garbe. Die Halme von $\mathcal F$ sind

$\mathcal F_\eta=N$ und $\mathcal F_s=M$ .

Weiterführende Bemerkungen

Eine (abelsche) Garbe ist eine Verallgemeinerung des Begriffes "Geradenbündel". Abstrakt kann man eine Garbe (bis auf Isomorphie) durch eine 2-dimensionale Cech-Kohomologieklasse beschreiben, wie auch Geradenbündel durch 1-dimensionale Cech-Klassen definiert werden. Aktuelles Forschungsgebiet der Physik/Differentialgeometrie ist vor allen Dingen die Definition einer nicht-abelschen Garbe.