Gaußsche Quadraturformeln

Eine Gaußsche Quadraturformel (nach Carl Friedrich Gauß) ist eine Quadraturformel besonders hoher Genauigkeit.

Hier werden die Nullstellen der Legendre-Polynome als Stützstellen genutzt. Während interpolatorische Quadraturformeln $n$ -ten Grades (also mit $n$ Stützstellen) per Definition lediglich Polynome maximal $(n - 1)$ -ten Grades korrekt integrieren müssen, erreichen Gaußformeln Exaktheit auf dem Raum der Polynome $(2 n - 1)$ -ten Grades. Durch diese Eigenschaft kann man die Gaußformeln charakterisieren.

Anwendung des Gaußschen Quadraturverfahrens

Zunächst werden die Knoten $g i$ aus den Nullstellen des Legendre-Polynoms $n$ -ten Grades gebildet, wobei $n$ die Anzahl der Stützstellen und damit die Genauigkeit des Integrals bestimmt.

Die Gewichte $w i$ können mit Hilfe des Lagrange-Polynoms und der Knoten $g i$ berechnet werden:

$w_i=\prod_{m=1}^{i-1} \left( \frac{x-g_m}{g_i-g_m} \right)*\prod_{j=i+1}^n \left(\frac{x-g_j}{g_i-g_j}\right)$

Jetzt kann das Integral der Funktion $f (x)$ im Intervall $\left[a..b \right]$ berechnet werden.

$\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x=\left( \frac{b-a}{2} \right)*\sum_{i=1}^n w_i*f\left( \frac{g_i*(b-a)+b+a}{2} \right)$

siehe auch: Gauß-Quadratur

Kategorie:Numerische Mathematik

Gaußsche Quadraturformeln

See also: Gaußsche Quadraturformeln, Carl Friedrich Gauß, Gauß-Quadratur, Lagrange, Legendre-Polynom, Polynom, Quadraturformel