Geradengleichung

Eine Geradengleichung ist eine Gleichung in der Mathematik, die eine Gerade eindeutig beschreibt. Die Abbildung zeigt eine Gerade g durch zwei gegebene Punkte P und Q in einem kartesischen Koordinatensystem. Durch zwei voneinander verschiedene Punkte lässt sich in der euklidischen Geometrie immer genau eine Gerade konstruieren.

bild:Gerade_im_KS.PNG

In der analytischen Geometrie gibt es verschiedene Formen der Geradengleichung, die aber alle ineinander umgewandelt werden können.

Inhaltsverzeichnis

1 Koordinatenform

2 Zweipunkteform

3 Achsenabschnittsform

4 Parameterform (Punktrichtungsform)

5 Normalform

6 Hessesche Normalform

7 Gerade im Raum

Koordinatenform

Die Koordinatenform folgt immer dem Schema:

$g:\;y = m\cdot x + q$

m ist die Steigung der Geraden,

q ist der Achsenabschnitt auf der y-Achse, also die Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse relativ zum Ursprung des Koordinatensystems (für q = 0 ergibt sich eine Gerade durch den Ursprung, eine Ursprungsgerade).

x und y sind Platzhalter für die Koordinatenwerte aller Punkte, die die Geradengleichung erfüllen und somit auf dem Graphen der Gerade liegen.

bild:Gerade_Koordinatenform.PNG

Ein Punkt P mit der x-Koordinate x hat eine y-Koordinate, die sich aus q und m · x zusammensetzt. Die Steigung m ist die senkrechte Kathete des (blau gefärbten) Steigungsdreiecks, dessen waagerechte Kathete 1 ist. Wird diese auf das x-fache vergrößert (gelbes Dreieck), so vergrößert sich auch die senkrechte Kathete auf das x-fache (Strahlensatz), also m · x. Zusammen mit dem Achsenabschnitt q folgt für die y-Koordinate:

$y = m\cdot x + q$ ,

im Beispiel:

$g:\;y = \frac{1}{2} \cdot x + 2$ ,

Zweipunkteform

Die Steigung m der Geraden kann mit Hilfe des Differenzenquotienten folgendermaßen errechnet werden:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

Nach dem Strahlensatz gilt für einen beliebigen anderen Punkt P(x|y) zugleich

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y - y_1}{x - x_1}$ ,

also

$g:\;\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} =\frac{y - y_1}{x - x_1}$ .

bild:Gerade_Zweipunkteform.PNG

Im Beispiel wird

$\frac{3 - 1}{2 - (-2)}=\frac{2}{4} = 0{,}5 = \frac{y - 1}{x - (-2)}$ ,

$g:\;\frac{y - 1}{x + 2} = 0{,}5$ .

Achsenabschnittsform

Die Achsenabschnitte a_x und a_y ergeben sich aus den beiden Achsenschnittpunkten S_x und S_y, die man auch Spurpunkte nennt.

bild:Gerade_Achsenabschnittsform.PNG

a_y ist identisch mit q (aus der Koordinatenform, siehe oben). a_x ergibt sich aus der Bedingung, dass an diesem Punkt (S_x) y=0 sein muss:

$m \cdot a_x + q = 0$ ,

also

$m \cdot a_x + a_y = 0$ ,

$m = - \frac{a_y}{a_x}$ ,

Eingesetzt in die Koordinatenform folgt:

$y = - \frac{a_y}{a_x} \cdot x + a_y$ .

Umstellen der Gleichung ergibt dann die Achsenabschnittsform:

$g:\;\frac{x}{a_x} + \frac{y}{a_y} = 1$ .

Im Beispiel ist

$g:\;\frac{x}{-4} + \frac{y}{2} = 1$ .

Parameterform (Punktrichtungsform)

Es gibt auch die Möglichkeit, eine Gerade mit Hilfe der Vektorrechnung zu beschreiben.

$g:\;\vec r = \vec r_0 + \lambda \cdot \vec u$

bild:Gerade_Parameterform.PNG

$\vec r_0$ ist der Ortsvektor eines fixen Punktes (z.B. P₀),

$\vec u$ ist der Richtungsvektor,

$λ$ ist ein Skalar und gibt an, wie lange in diese Richtung gezählt wird.

Das Beispiel würde dann so aussehen:

$g:\;\vec r={-2 \choose 1} + \lambda \cdot {3 \choose 1,5}$

λ bildet hierbei die Koordinate eines affinen Koordinatensystems auf der Geraden, d.h. die Gerade wird (mit dem Nullpunkt bei P₀) mit den Werten von λ beziffert (im Bild grün gekennzeichnet).

Normalform

Mit einem Normalenvektor $\vec n$ , der im rechten Winkel zur Geraden steht, lässt sich die Gerade in Normalform (in anderer Notation: Normalenform) schreiben:

$\vec r \cdot \vec n - c = 0$ .

oder

$\vec r \cdot \vec n = c$ .

Darin ist c eine Konstante und $\cdot$ das Skalarprodukt. Diese Darstellung beruht auf der Eigenschaft des Skalarproduktes, nach dem

$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot cos(\alpha)$ mit $\alpha = \angle ( \vec a , \vec b )$ .

ist. Nun setzt sich der Ortsvektor $\vec r$ eines beliebigen Punktes P(x|y) stets aus dem Vektor $\vec r_p$ parallel zur Geraden und dem Vektor $\vec r_s$ senkrecht zu der Geraden durch Vektoraddition zusammen:

$\vec r = \vec r_s + \vec r_p$ .

bild:Gerade_Normalform.PNG

Aus den Eigenschaften der Kosinusfunktion ergibt sich, dass stets

$\vec r_p \cdot \vec n = |\vec r_p| \cdot |\vec n| \cdot \cos (90^\circ) = 0$

und

ist. Da $\vec r_s$ für alle Punkte der Geraden gleich ist, ist dieses Produkt konstant. Somit ist

$\vec r \cdot \vec n = ( \vec r_s + \vec r_p ) \cdot \vec n = \vec r_s \cdot \vec n + \vec r_p \cdot \vec n = c + 0 = c$ .

Im Beispiel ist

$\vec n = {-1 \choose 2}$

c ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten eines beliebigen Punktes, der auf der Geraden liegt, z.B. mit dem Punkt P(4|4):

$c = \vec n \cdot \vec r = {-1 \choose 2} \cdot {4 \choose 4} = -4 + 8 = 4$ .

(Jeder andere Punkt der Geraden führt zum gleichen Ergebnis!) Folglich lautet die Normalform der Geraden:

$g:\;\vec r \cdot {-1 \choose 2} = 4$ .

Hessesche Normalform

Sie leitet sich aus der Normalform ab. Offenbar ist der Betrag von $\vec r_s$ identisch mit dem Abstand d der Geraden vom Ursprung. Aus

folgt

$\vec r_s \cdot \vec n = c = | \vec r_s | |\vec n|$ .

Division durch $| \vec n |$ ergibt folglich

$\frac {c}{|\vec n|} = |\vec r_s| = d$ .

Daher ist

$g:\;\vec r \cdot \frac{\vec n}{| \vec n |} = d$ .

Im Beispiel ist $| \vec n | = \sqrt {(-1)^2 + 2^2} = \sqrt {5}$ , also

$g:\;\vec r \cdot \frac{{-1 \choose 2}}{\sqrt {5}} = \frac {4}{\sqrt{5}}$ ,

und der Ursprungsabstand der Geraden ist $d = \frac {4}{\sqrt{5}} \approx 1{,}79$ .

Gerade im Raum

Zur Beschreibung einer Geraden im (dreidimensionalen) Raum ist nur die Parameterform

$g:\;\vec r = \vec r_0 + \lambda \cdot \vec u$

gebräuchlich, da eine Raumgerade weder Achsenabschnitte noch einen eindeutig bestimmten Normalenvektor besitzt (zu einer Geraden im Raum gibt es unendlich viele auf ihr senkrecht stehende Richtungen). $\vec r$ , $\vec r_0$ und $\vec u$ sind dabei nun Vektoren im Raum.

bild:Raumgerade.PNG

Siehe auch: Vektorrechnung, Parameterdarstellung