Gleichstufige Stimmung

Bei der gleichstufigen (auch gleichtemperierten oder gleichschwebenden) Stimmung gleicht man das Pythagoräische Komma aus und teilt die Oktave in 12 mathematisch exakt gleich große Halbtonschritte mit dem Frequenzverhältnis

$\Delta {f} = \sqrt[12]{2} \approx 1{,}05946309$

Die mathematische Vorschrift zur Bestimmung der Töne auf der gesamten Tonleiter der gleichstufigen Stimmung lautet

$f(i) = a_0 \cdot 2^{i/12}$ ,

wobei a₀ z. B. der Kammerton a’ (440 Hz) sein kann. i ist die Halbtonschrittweite in Bezug auf den gewählten Ton a₀. Eine solche Folge nennt man geometrische Folge.

Möchte man beispielsweise die Frequenz des Tones g’ bestimmen, so zählt man seine Halbtonschritt-Entfernung vom Kammerton a’ ab (i = minus 2, da man nach unten zählt), und setzt die Werte in die Gleichung ein:

$f(-2) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{-2/12} \approx 391{,}995\,\mathrm{Hz}$

für den Ton g’’ erhält man entsprechend einen Halbtonabstand zu a₀ von i = 10:

$f(10) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{10/12} \approx 783{,}991\,\mathrm{Hz}$

Wie man sieht, besitzt g’’ die doppelte Frequenz wie g’ – daher klingt es so konsonant, wenn man zwei gleiche Töne anspielt, womit auch eine Haupteigenschaft der gleichstufigen Stimmung erklärt ist. Ein anderer Vorteil liegt darin, dass man jedes Stück transponieren kann (also z. B. alle Töne von dem ursprünglichen Fis-Dur nach C-Dur verschieben), ohne dass sich für einen gewöhnlichen Zuhörer an dem Stück etwas charakteristisch verändert (Menschen mit absolutem Gehör ausgenommen).

Ein derart gestimmtes Instrument enthält außer der Oktave zwar kein einziges "ideales", d. h. rein gestimmtes Intervall mehr, die Abweichungen sind auch durchaus hörbar, in der heutigen Musikwahrnehmung wird dies jedoch allgemein als akzeptabel empfunden (Gewöhnungseffekt).

Auch wenn die exakt gleichstufige Stimmung schon lange in der Theorie bekannt war, setzte sie sich aus praktischen Gründen erst langsam zu Beginn des 20. Jahrhunderts in der Stimmpraxis durch. Damit verloren allerdings die Tonarten-Charaktere für neue Kompositionen an Bedeutung, weil verschiedene Tonarten nicht mehr in dieser Hinsicht unterschiedlich klangen. Beim Aufführen älterer Werke auf gleichstufig gestimmten Instrumenten gehen aus demselben Grund häufig wesentliche künstlerische Aspekt der Komposition verloren.

Johann Sebastian Bachs berühmtes Werk "Das Wohltemperierte Klavier" ist entgegen lange tradierter Annahmen nicht für gleichstufig gestimmte Instrumente konzipiert wurden. Ältere Komponisten setzten gerne zu ihrer Zeit schlecht klingende "unmögliche" Tonarten ein, um beispielsweise negative Sachverhalte wie Schmerz, Sünde etc. zu symbolisieren.

Heute werden Instrumente mit festen Tonhöhen, wie das Klavier oder die Gitarre, standardmäßig gleichstufig gestimmt. Viele Orgeln und Cembali werden aber bewusst mit einer anderen Stimmung versehen.

Centwerte der gleichstufigen Stimmung

Ton	C¹	C#	D	Eb	E	F	F#	G	G#	A	B	H	C²
Centwert	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100	1200

Die folgende Tabelle zeigt die Werte der Intervalle der 12 Halbtöne, die reine Stimmung und die Prozentabweichung:

Interval	Genauer temperierter Wert	Dezimalwert	Reines Intervall	Prozentualer Unterschied
Prime	1	1,000000	1,000000	0,00%
Kleine Sekunde	$\sqrt[12]{2^1} = \sqrt[12]{2}$	1,059463	16/15 = 1,066667	-0,68%
Große Sekunde	$\sqrt[12]{2^2} = \sqrt[6]{2}$	1,122462	9/8 = 1,1250000	-0,23%
Kleine Terz	$\sqrt[12]{2^3} = \sqrt[12]{8}$	1,189207	6/5 = 1,200000	-0,91%
Große Terz	$\sqrt[12]{2^4} = \sqrt[3]{2}$	1,259921	5/4 = 1,250000	+0,79%
Reine Quarte	$\sqrt[12]{2^5} = \sqrt[12]{32}$	1,334840	4/3 = 1.333333	+0,11%
Verminderte Quinte	$\sqrt[12]{2^6} = \sqrt{2}$	1,414214	7/5 = 1,400000	+1,02%
Reine Quinte	$\sqrt[12]{2^7} = \sqrt[12]{128}$	1,498307	3/2 = 1,500000	-0.11%
Kleine Sexte	$\sqrt[12]{2^8} = \sqrt[3]{4}$	1,587401	8/5 = 1,600000	-0,79%
Große Sexte	$\sqrt[12]{2^9} = \sqrt[4]{8}$	1,681793	5/3 = 1,666667	+0,90%
Kleine Septime	$\sqrt[12]{2^{10}} = \sqrt[6]{32}$	1,781797	16/9 = 1,777778	+0,23%
Große Septime	$\sqrt[12]{2^{11}} = \sqrt[12]{2048}$	1,887749	15/8 = 1,875000	+0,68%
Oktave	$\sqrt[12]{2^{12}} = {2}$	2,000000	16/8 = 2,000000	0,00%

Siehe auch:

Kategorie:Musiktheorie

Gleichstufige Stimmung

Centwerte der gleichstufigen Stimmung

Siehe auch:

See also: Gleichstufige Stimmung, 20. Jahrhundert, Absolutes Gehör, Cembalo, Cent (Musik), Folge (Mathematik), Geometrische Folge, Gitarre, Intervall (Musik), Johann Sebastian Bach