Glossar mathematischer Attribute

In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen, surjektiv), kann aber auch ein Substantiv involvieren (vom Grad 3). Dieses Glossar soll insbesondere in Fällen, in denen ein und dasselbe Attribut auf Objekte ganz verschiedenen Typs angewandt wird, zur schnellen Orientierung dienen, Querverbindungen aufzeigen und vor möglichen Verwechslungen bewahren.

Inhaltsverzeichnis A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

A

Buchstabe A bearbeiten

abelsch

Eine Gruppe heißt abelsch (nach Niels Henrik Abel), wenn die Gruppenverknüpfung kommutativ ist.

abgeschlossen

In der abstrakten Algebra heißt eine Menge abgeschlossen bezüglich einer auf ihren Elementen definierten Operation (z.B. einer zweistelligen Verknüpfung), wenn das Ergebnis der Operation, angewandt auf beliebige Elemente der Menge, wieder ein Element dieser Menge ist.
Eine Teilmenge eines topologischen Raums heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement eine offene Menge ist.
Siehe auch das Stichwort algebraisch abgeschlossen.

abundant

abzählbar

Eine Menge bezeichnet man als abzählbar (oder abzählbar unendlich), wenn sie mit der Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig ist. Je nach Definition können auch endliche Mengen abzählbar heißen. Mächtigere Mengen heißen überabzählbar.

adjungiert

In der linearen Algebra heißt ein Endomorphismus g eines k-Vektorraums W adjungiert zu einem Endomorphismus f eines k-Vektorraums V bezüglich einer Paarung <_,_>: V × W → k, falls für alle v in V und alle w in W gilt:

<fv, w> = <v, gw>.

Im Fall endlichdimensionaler Vektorräume entspricht dem adjungierten Endomorphismus die transponierte Matrix (im Fall eine Bilinearform) bzw. die konjugiert-transponierte Matrix (im Fall einer Sesquilinearform). Ist ein Endomorphismus gleich seinem adjungierten Endomorphismus, so heißt er selbstadjungiert oder symmetrisch (für Bilinearformen) bzw. hermitesch (für Sesquilinearformen).

Siehe auch: Adjungierte Matrix, Adjungierter Operator

In der Kategorientheorie heißen Paare (F: C → D, G: D → C) von Funktoren zwischen Kategorien C und D adjungiert, wenn für alle Objekte X von C und Y von D gilt:

Mor_D(FX, Y) = Mor_C(X, GY).

siehe auch: Adjunktion (Kategorientheorie)

Nicht mit den ersten beiden genannten Begriffen verwandt ist die Adjunktion von Unbestimmten zu einem Körper oder Ring, siehe Adjunktion (Algebra)
In der Theorie der Liegruppen bzw. algebraischen Gruppen nennt man die Konjugationsdarstellung der Gruppe auf ihrer Liealgebra, die im Fall von Matrizengruppen durch

$G\times\mathfrak g\to\mathfrak g,\quad \mathrm{Ad}(g)(Y)=gYg^{-1}$

gegeben ist, die adjungierte Darstellung.

In der Theorie der Liealgebren ist die adjungierte Darstellung die Darstellung der Liealgebra auf sich selbst, die durch die Lieklammer gegeben ist:

$\mathfrak g\times\mathfrak g\to\mathfrak g,\quad\mathrm{ad}(X)(Y)=[X,Y].$

affin

Eine Funktion der Form $f (x) = a x + b$ heißt affin-linear, siehe auch affine Abbildung.
Ein affiner Raum ist ein "Vektorraum ohne Ursprung", d.h. es zu je zwei Punkten $A, B$ einen Vektor $\overrightarrow{AB}$ , so dass die Verschiebung um diesen Vektor $A$ auf $B$ abbildet. Die Menge dieser Verschiebungen bildet einen Vektorraum, aber im affinen Raum selbst gibt es keinen ausgezeichneten Punkt wie den Ursprung eines Vektorraums. Beispielsweise sind Geraden und Ebenen im Anschauungsraum affine Räume.
Eine affine algebraische Varietät ist eine algebraische Varietät, die sich als abgeschlossene Menge in einen affinen Raum einbetten lässt.

ähnlich

In der Geometrie sind zwei Figuren ähnlich, wenn sie durch Verschiebung, Drehung, Spiegelung und isotrope Streckung ineinander übergeführt werden können. Ähnlichkeit erweitert also Kongruenz (Geometrie) um die Möglichkeit der Streckung.
In der linearen Algebra heißen zwei quadratische Matrizen A und B ähnlich, wenn sie durch eine invertierbare Matrix S ineinander überführt werden können, A = S B S^-1. Ähnlichkeit ist hier ein Spezialfall von Äquivalenz.

algebraisch

Eine Gleichung heißt algebraisch, wenn sie durch eine endliche Anzahl elementarer Rechenoperationen formuliert werden kann. Man spricht auch von polynomialen Gleichungen.
Eine Funktion heißt algebraisch, wenn alle Paare aus Punkt und Funktionswert Lösung derselben algebraischen Gleichung sind. Andernfalls heißt die Funktion transzendent.
In der Funktionentheorie heißt eine hebbare Singularität auch algebraisch.
Eine komplexe Zahl heißt algebraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Die Menge der algebraischen Zahlen bildet einen algebraischen Abschluss der Menge Q.
Ein Element einer Körpererweiterung heißt algebraisch, wenn es Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus dem zu erweiternden Körper ist, siehe algebraisches Element.

algebraisch abgeschlossen

Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes Polynom vom Grad >= 1 mit Koeffizienten aus K eine Nullstelle in K hat. Der Körper der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen, der der reellen Zahlen nicht. Siehe auch algebraischer Abschluss.

analytische Funktion

In der Funktionentheorie heißt eine Funktion einer komplexen Veränderlichen analytisch, wenn sie lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben ist. Das ist (im Gegensatz zur reellen Analysis) äquivalent damit, dass die Funktion unendlich oft differenzierbar ist, und das wiederum ist (erneut im Gegensatz zur reellen Analysis) äquivalent damit, dass die Funktion stetig und differenzierbar, also holomorph oder regulär ist. Tatsächlich werden in der Funktionentheorie, das heißt in der komplexen Analysis, die Begriffe analytisch, holomorph und regulär äquivalent gebraucht.
Auch in der reellen Analysis heißt eine Funktion

analytisch wenn sie lokal durch einen Potenzreihe gegeben ist.

antisymmetrisch

Eine Relation R heißt antisymmetrisch, wenn aus xRy und yRx folgt, dass x und y gleich sind. Dies ist eine der definierenden Eigenschaften einer partiellen Ordnung.

äquivalent

Zwei Aussagen heißen äquivalent, wenn sie unter gleichen Voraussetzungen denselben Wahrheitswert haben. Insbesondere heißen zwei Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben.
Zwei Elemente einer Menge heißen äquivalent, wenn sie in der gleichen Äquivalenzklasse bezüglich einer Äquivalenzrelation liegen.
In der linearen Algebra heißen zwei m×n Matrizen A und B äquivalent, wenn es invertierbare Matrizen S und T gibt, so dass A = S·B·T. Äquivalente Matrizen beschreiben bezüglich geeigneter Basen die gleiche lineare Abbildung; Matrizen sind genau dann äquivalent, wenn sie den gleichen Rang haben. Falls die äquivalenten Matrizen A und B quadratisch sind (m=n) und T=S^-1>gewählt werden kann, sind A und B sogar ähnlich.
Zwei Darstellungen heißen äquivalent, wenn sie bis auf Basenwechsel aus den gleichen linearen Abbildungen bestehen.

assoziativ

Eine zweistellige Verknüpfung "*" heißt assoziativ, wenn für alle Elemente a, b und c der Grundmenge stets die Gleichung a*(b*c) = (a*b)*c gilt. Die Assoziativität der Verknüpfung erlaubt es, bestimmte Klammern wegzulassen und einfach a*b*c zu schreiben.

Eine Menge A und eine zweistellige Verknüpfung "*" auf A deren Ergebnisse alle in A liegen heißt zusammen Magma (Mathematik). Ist diese Verknüpfung darüber hinaus assoziativ spricht man von einer Halbgruppe.

asymmetrisch

Eine Relation R heißt asymmetrisch, wenn aus xRy stets nicht yRx folgt. Dies ist eine der Eigenschaften einer strikten partiellen Ordnung.

auflösbar

Eine Gruppe heißt auflösbar, wenn es eine absteigende Folge

$G=G_0\triangleright G_1\triangleright\ldots\triangleright G_n=1$

von Normalteilern gibt, deren Quotienten G_k/G_k+1 abelsch sind.

Eine Liealgebra heißt auflösbar, wenn es eine absteigende Folge

$\mathfrak g=\mathfrak g_0\supseteq\mathfrak g_1\supseteq\ldots\supseteq\mathfrak g_n=0$

von Idealen gibt (d.h. $\mathfrak g_{k+1}$ soll ein Ideal in $\mathfrak g_k$ sein), deren Quotienten abelsch sind.

ausgeartet

Eine bilineare Abbildung b (eine Bilinearform) heißt ausgeartet, wenn es einen Vektor x ≠ 0 gibt, der für jeden Vektor y die Gleichung b(x, y) = 0 erfüllt. Für das Gegenteil gibt es die Begriffe regulär oder perfekt, meist sagt man aber schlicht "nicht ausgeartet".

B

befreundet

Ein Paar natürlicher Zahlen heißt befreundet, wenn die Summe der echten Teiler der einen Zahl die jeweils andere ergibt. Beispiel: 220 und 284 (1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284, 1+2+4+71+142 = 220). Siehe befreundete Zahl.

beschränkt

Eine Teilmenge U eines metrischen Raums (X, d) heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl c gibt, so dass der Abstand zweier Elemente von U stets kleinergleich c ist, wenn also die Abstände in U beschränkt sind.
Als Spezialfall davon heißt eine Menge U reeller Zahlen beschränkt, wenn es zwei reelle Zahlen a und b gibt, so dass U eine Teilmenge des abgeschlossenen Intervalls [a, b] ist.

bijektiv

Eine Funktion heißt bijektiv oder umkehrbar eindeutig (engl.: bijective oder one-to-one and onto), wenn sie injektiv und surjektiv ist, also verschiedenen Elementen der Definitionsmenge verschiedene Elemente der Wertemenge zuordnet, wobei jedes Element der Wertemenge erreicht wird. Bijektive Funktionen sind invertierbar. Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus.

bilinear

Eine Funktion f: V×V → W, die zwei Elemente eines Vektorraums V auf ein Element eines Vektorraums W abbildet, heißt bilinear, wenn sie bei festgehaltenem ersten Argument linear im zweiten Argument und bei festgehaltenem zweiten linear im ersten Argument ist. Wenn W der dem Vektorraum V unterliegende Skalarkörper ist, heißt f Bilinearform. Über dem Körper der komplexen Zahlen betrachtet man oft sesquilineare statt bilinearer Funktionen.

C

chaotisch

Als mathematischer Begriff (s. Chaostheorie) Ausdruck eines schlecht gestellten (engl. "ill posed") inversen Problems. Mittels einfacher, meist sogar deterministischer Regeln kann ein komplexes Objekt erzeugt werden, jedoch ist der Rückschluß vom Objekt auf die erzeugenden Regeln nicht oder nur schlecht möglich.

Beispiel Schmetterlingseffekt: Ein Schmetterling kann (zumindest hypothetisch) einen Tornado auslösen, jedoch ist es von der Beobachtung des Tornados weder möglich zu bestimmen, ob das der Fall war, weniger noch ist auf den konkreten Schmetterling zu schließen.

charakteristisch

In der Mengenlehre hat die charakteristische Funktion einer Teilmenge, auch Indexfunktion genannt, den Wert 1 auf der Teilmenge und 0 außerhalb.
Charakteristisches Polynom und charakteristische Gleichung einer Matrix oder eines Operators, siehe Eigenvektor.
In der Gruppentheorie ist eine charakteristische Untergruppe einer Gruppe G eine Untergruppe H, die unter jedem Automorphismus von G fest bleibt. Das heißt, eine Untergruppe H von G heißt charakteristisch, wenn für jeden Automorphismus (bijektiven Gruppenhomomorphismus von G nach G) f gilt, dass f(H) Teilmenge von H ist.

D

definit

Siehe positiv definit und negativ definit.

defizient

diagonaldominant

Eine Matrix heißt diagonaldominant, falls das Zeilensummenkriterium erfüllt ist, d.h. falls der Betrag jedes Diagonalelementes größer ist als die Summe der Beträge der restlichen jeweiligen Zeilenelemente.

diagonalisierbar

Eine Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix S gibt, so dass $S^{-1} A S = D = \operatorname{diag}\left(\lambda_1,\cdots\lambda_n\right)$ eine Diagonalmatrix ist (Die Matrizen A und D sind ähnlich). Dies ist beispielsweise dann der Fall, wenn das Charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt.

dicht

Eine Teilmenge M liegt dicht in einem topologischen Raum R, wenn es keine abgeschlossene Teilmenge von R außer R selbst gibt, die M enthält. Mit anderen Worten, M ist dicht (in R), wenn der Abschluss von M mit R übereinstimmt. Beispiel: die Menge der rationalen Zahlen Q liegt dicht in der Menge der reellen Zahlen R (und macht diese dadurch separabel).
Die Teilordnung einer Menge S heißt dicht, wenn es zu jedem x und y aus S mit x < y ein z aus S gibt, so dass x < z < y. Beispiel: die übliche Ordnung der rationalen oder der reellen Zahlen ist dicht.

differenzierbar

Die Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x₀, falls der Limes des Differenzenquotienten an der Stelle x₀ existiert.

Dimension

In der linearen Algebra ist die Dimension eines Vektorraums die Anzahl seiner Basisvektoren, also die minimale Ordnung eines Erzeugendensystems. Diese Dimension heißt auch Hamel-Dimension.
Die Dimension einer Mannigfaltigkeit ist die Anzahl der Koordinaten in einem lokalen Koordinatensystem. Dass eine Mannigfaltigkeit eine eindeutige Dimension hat, ist gesichert, wenn sie zusammenhängt.
Die Hausdorff-Dimension kann nichtganzzahlig sein und wird zur Beschreibung von Fraktalen verwandt.

disjunkt

Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen.

dual

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Dann heißt der Vektorraum V^*:=Hom_K(V,K), der die linearen Abbildungen von V nach K enthält, dual zu V (Dualraum).
In einer Booleschen Algebra entsteht eine duale Aussage, wenn man alle Elementaraussagen negiert, 0 mit 1 und ∧ mit ∨ vertauscht, und die gesamte Aussage negiert.
Analog dazu geht ein komplementärer Verband (z.B. eine Mengenalgebra) in sein duales Gegenstück über, wenn man die beiden inneren Verknüpfungen miteinander vertauscht und jedes Element durch sein Komplement ersetzt.

E

echt

Eine Teilmenge heißt echt, wenn sie nicht identisch ist mit der Grundmenge.

eindeutig

In älterer Literatur heißt eine injektive Abbildung eindeutig.
A. Beutelspacher rät in seinem Leitfaden zur Formulierung mathematischer Gedanken, das Wort eindeutig nur als Gegenteil von mehrdeutig zu verwenden.

eineindeutig

Von der Verwendung dieses Attributs ist abzuraten, da es uneinheitlich verwendet wird: überwiegend in der Bedeutung bijektiv, zuweilen aber auch in der Bedeutung injektiv.

einfach

Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie mindestens zwei Elemente und keinen nichttrivialen Normalteiler besitzt. Die Menge {e}, die nur das Einselement enthält, und die Gruppe selbst werden als triviale Normalteiler angesehen. Siehe auch Einfache Gruppe.
Ein Modul heißt einfach, wenn er keine echten Untermoduln hat.

einfach zusammenhängend

Ein topologischer Raum heißt einfach zusammenhängend, wenn in ihm jede geschlossene Kurve zu einem Punkt zusammengezogen werden kann, d.h. wenn die Fundamentalgruppe trivial ist.

elliptisch

In der Geometrie eine Kurve, die als Ellipse beschrieben werden kann.
In der Analysis sind die elliptischen Funktionen eine wichtige Klasse spezieller Funktionen; sie treten als Lösungen elliptischer Integrale auf.
Eine fundamentale Klasse partieller Differentialgleichungen heißt elliptisch.
Eine fundamentale Klasse nichteuklidischer Geometrien heißt elliptisch.
Eine elliptische Kurve ist eine singularitätenfreie algebraische Kurve vom Grad 3 in der projektiven Ebene mit einem ausgezeichneten rationalen Punkt. Von besonderem Interesse z.B. für die Faktorisierung natürlicher Zahlen sind aufgrund ihrer einfachen Struktur elliptische Kurven der Form cy² = x³ + ax + b mit c ≠ 0 und 4a³ + 27b² ≠ 0.

endlich

Eine Menge heißt endlich, wenn ihre Mächtigkeit (die Anzahl ihrer Elemente) eine natürliche Zahl ist. Oder äquivalent: wenn keine Bijektion zwischen der Menge und einer ihrer Teilmengen existiert.
Ein Maß heißt endlich, wenn das Maß der Grundmenge Ω des Maßraums eine endliche Zahl ist. Ein Maß heißt σ-endlich, wenn Ω die abzählbare Vereinigung messbarer Mengen endlichen Maßes ist.
In der Gruppentheorie ist die Unterscheidung zwischen endlichen und unendlichen Gruppen fundamental.
In der Physik verwendet man das Wort endlich auch, um "von Null verschieden" zu sagen.

entartet

Eine bilineare Abbildung b (eine Bilinearform) heißt entartet oder ausgeartet, wenn es einen Vektor x ≠ 0 gibt, der für jeden Vektor y die Gleichung b(x, y) = 0 erfüllt. Das Gegenteil wird manchmal mit dem Wort regulär bezeichnet, meist spricht man aber einfach von "nicht entartet" bzw. "nicht ausgeartet".

euklidisch

Ein euklidischer Raum ist in der Mathematik ein Raum, für welchen die Gesetze der euklidischen Geometrie gelten.
Eine Relation R heißt euklidisch, wenn aus xRy und xRz auch yRz folgt.

exakt

F

fast alle

Man sagt, dass eine Eigenschaft E für fast alle Elemente einer Menge oder Folge gilt, wenn sie für alle bis auf endlich viele gilt. Zum Beispiel gilt für eine konvergente Folge, dass in jeder Umgebung des Grenzwertes fast alle Folgeglieder enthalten sind.

fast überall

Man sagt, dass eine Eigenschaft E fast überall in einer Menge X gilt, wenn auf X ein Maß definiert ist und die Menge der Punkte, für die die Eigenschaft E nicht gilt, eine Nullmenge ist. Wenn die Menge X Teil eines Euklidischen Raums ist, die Punkte von X also reelle Koordinaten haben, legt man in der Regel das Lebesgue-Maß zugrunde. Siehe Nullmenge für weitere Erklärungen und Beispiele.

fast sicher

Man sagt, dass ein Ereignis auf einem Wahrscheinlichkeitsraum fast sicher (f.s. oder engl. a.e. für "almost everywhere") eintritt, wenn dessen Wahrscheinlichkeit 1 beträgt. D.h. das Ereignis tritt fast überall auf dem Wahrscheinlichkeitsraum, als Maßraum betrachtet, ein.

fraktal

Ist meist ein Modebegriff, in der Mathematik Bezeichnung für Mengen mit gebrochener Hausdorff-Dimension, selbstähnliche Mengen (s. auch IFS-Fraktal) oder selbstähnliche Funktionen.

frei

Aus nichtleeren Mengen kann man durch geeignete Konstruktionen algebraische Strukturen gewinnen, die gerade nur soviele Eigenschaften haben, wie von den Axiomen der Strukturen gefordert wird. Beispiele sind freier Gruppoid, freie Halbgruppe, freier Monoid, freie Gruppe, freie abelsche Gruppe.
Ein Modul heißt frei, wenn er eine Basis hat. Eine Basis ist hier ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

G

glatt

Bei Funktionen, Kurven, Mannigfaltigkeiten und anderen differenzierbaren Objekten: Oft salopp gebraucht in der Bedeutung „genügend oft differenzierbar“. Manchmal formal definiert als „unendlich oft differenzierbar“.

gleichmäßig beschränkt

gleichmäßig konvergent

Sei $D\subseteq\mathbb{R}$ . Eine Funktionenfolge $(f_n)\subset\left\{f:D\rightarrow\mathbb{R}\right\}$ heißt gleichmäßig konvergent gegen $f$ , wenn gilt: $\forall\varepsilon>0~\exists n_0\in\mathbb{N}~\forall n\in\mathbb{N}~\textrm{mit}~n\geq n_0,~\forall x\in D:|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$

gleichmäßig stetig

Bei reellen Funktionen: Für jede Höhe gibt es eine Breite, so dass ein Rechteck mit diesen Ausmaßen an jeder Stelle einer Funktion so platziert werden kann, dass die Funktion nur die Seitenlinien schneidet.

gleichgradig stetig

Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und $(Y,\|\cdot\|)$ ein normierter Raum. Eine Menge $F$ von Funktionen $X\to Y$ heißt gleichgradig stetig genau dann, wenn zu jedem $\varepsilon>0$ ein $δ > 0$ existiert mit $d(a,b)\le\delta\Rightarrow \sup_{f\in F}\|f(a)-f(b)\|\le\varepsilon\quad(a,b\in X)$

Spezialfall: Sei $D\subseteq\mathbb{R}$ . Eine Menge von Funktionen $F\subseteq\left\{f:D\rightarrow\mathbb{R}\right\}$ heißt gleichgradig stetig genau dann, wenn $\forall \varepsilon>0~\exists \delta>0~\forall f\in F~\forall x,y\in D:\left|x-y\right|<\delta\Rightarrow\left|f(x)-f(y)\right|<\varepsilon$

gerade

Eine Funktion f(x) heißt gerade, wenn f(x) = f(-x) für alle x aus der Grundmenge gilt. Der Graph einer geraden Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Eine ganze Zahl heißt gerade, wenn sie durch 2 teilbar ist.
Eine Permutation σ heißt gerade, wenn sie eine gerade Anzahl von Fehlständen hervorbringt. Ein Fehlstand ist ein Paar i, j mit i<j aber σ(i)>σ(j). Siehe alternierende Gruppe.

geordnet

...Ordnungsrelation
...Geordneter Körper

Grad

In der Geometrie ist das Grad Maß für die Größe eines ebenen Winkels.
In der Algebra ist der Grad eines Summanden in einem Polynom der Exponent, mit dem die Variable in diesem Term potenziert ist; der Grad des Polynoms ist der größte Grad eines in dem Polynom enthaltenen Summanden.
In der Darstellungstheorie ist der Grad der Darstellung die Dimension des Vektorraums, in dem die Darstellung stattfindet.
In der Graphentheorie ist der Grad einer Ecke die Anzahl der in dieser Ecke zusammentreffenden Kanten.
Für den Grad einer Karte zwischen Mannigfaltigkeiten, siehe [1].

größtes Element

Ein Element x einer halbgeordneten Menge heißt größtes Element, wenn alle anderen Elemente kleiner sind, d.h. für jedes Element y die Relation x ≥ y gilt. Das größte Element einer halbgeordneten Menge existiert nicht immer, ist aber im Falle seiner Existenz eindeutig bestimmt. Siehe auch maximal und kleinstes.

H

harmonisch

Funktion
Schwingung
Reihe / Zahlen
Mittelwert

Hausdorffraum

Ein topologischer Raum ist ein Hausdorff-Raum, wenn das Trennungsaxiom T₂ gilt: jedes Paar von unterschiedlichen Punkten besitzt disjunkte Umgebungen.

hebbar

In der Funktionentheorie heißt eine Singularität hebbar (auch algebraisch oder regulär), wenn in der Entwicklung nach ganzzahligen Potenzen der komplexen Veränderlichen nur endliche negative Potenzen vorkommen.
Eine Definitionslücke, in die eine Funktion stetig fortgesetzt werden kann, heißt stetig behebbare Definitionslücke.

hermitesch

Das Adjektiv hermitesch (oder auch Hermitesch) stammt von Charles Hermite, es gibt auch die (falsche) Schreibweise hermitisch.
Die hermitesch adjungierte bzw. hermitesch konjungierte Matrix zu $A$ ist $A^H:=A^{\dagger}:=\mathrm{adj}(A):={\overline{A}}^{T}={\overline{A^{T}}}$ .

Alle komplexen Matrizen und Vektoren lassen sich hermitesch konjungieren.

Die Notation $A *$ steht je nach Autor für die hermitesch adjungierte bzw. hermitesch konjungierte oder komplex konjugierte Matrix. Sie ist daher zu vermeiden.

Zwei Matrizen A,B heißen adjungiert oder hermitesch adjungiert oder hermitesch konjugiert zueinander, wenn sie durch komplexe Konjugation und Transposition auseinander hervorgehen, das heißt $B = A H$ .

Eine Matrix heißt hermitesch oder selbstadjungiert genau dann, wenn sie zu sich selbst hermitesch adjungiert bzw. adjungiert ist, das heißt $A = A H$ . Aus hermitesch folgt quadratisch, normal und daraus diagonalisierbar.

Eine hermitesche Form ist eine Sesquilinearform <,>: V×V→C mit $\langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle}$ . Das innere Produkt in einem unitärem Raum ist per definitionem eine hermitesche Form.
In der Funktionalanalysis heißt ein linearer Operator f auf einem Hilbert-Raum hermitesch, wenn er selbstadjungiert und zusätzlich gewisse topologische Anforderungen erfüllt (so zumindest bei Dieudonné). In weniger formalen Darstellungen werden die Attribute hermitesch und selbstadjungiert austauschbar gebraucht. Bra-Ket-Notation: $<1|\hat A|2>\ =\ <2|\hat A|1>^*$ mit $\hat A$ hermitesch

hinreichend

Eine Aussage A ist eine hinreichende Bedingung einer anderen Aussage B, wenn zwischen den beiden Aussagen die logische Beziehung "aus A folgt B" (kurz: A ⇒ B) besteht. Der Gegenbegriff ist notwendig.

holomorph

In der Funktionentheorie heißt eine Funktion einer komplexen Variablen holomorph oder regulär in einem Bereich, wenn sie in diesem Bereich eindeutig ist und eine stetige Ableitung hat; diese Definition impliziert Stetigkeit der Funktion selbst.

homogen

Homogen ist ein Raum, der "überall gleich aussieht":
- Ein topologischer Raum ist homogen, falls es für je zwei Punkte einen Homöomorphismus gibt, der den einen Punkt auf den anderen Punkt abbildet.
- Allgemeiner heißt eine Menge mit einer transitiven Gruppenaktion ein homogener Raum.

Siehe: Homogener Raum

Homogenität bezeichnet eine Art von Kompatibilität mit Skalarmultiplikation:
- Ein lineares Gleichungssystem heißt homogen, wenn seine m Gleichungen in den n Unbekannten die Form a_j1x₁ + ... + a_jnx_n = 0 haben (für alle j aus 1,2,..,m); Wenn auf der rechten Seite in mindestens einer Gleichung eine andere Zahl als die 0 steht, heißt das Gleichungssystem inhomogen.
  Siehe: Homogene Gleichung
- Eine Abbildung heißt homogen vom Grad p, falls für Skalare a die Gleichung f(ax) = a^pf(x) gilt; manchmal wird "homogen" auch im Sinne von "homogen vom Grad 1" benutzt.
  Siehe: Homogene Abbildung, Homogenes Polynom
- In Verallgemeinerung des Begriffs "homogenes Polynom" heißen Elemente in einem graduierten Objekt (Ring, Algebra, Modul) homogen, wenn sie in einem der graduierten Bestandteile liegen. Ein graduierter Morphismus heißt homogen vom Grad p, wenn er den Grad um p erhöht.
  Siehe: Graduierung (Algebra)
Eine Relation heißt homogen, wenn Vor- und Nachmenge übereinstimmen.
In der Zahlentheorie heißen Zahlen homogen, wenn sie aus den gleichen Primfaktoren aufgebaut sind, wie beispielsweise $60=2^2\times3\times5$ und $90=2\times3^2\times5$ .

homöomorph

Zwei topologische Räume X und Y heißen homöomorph, falls es eine bijektive Abbildung f : X -> Y gibt, so dass f und f^-1 stetig sind. Vom Standpunkt der Topologie aus sind X und Y gleich. Die Funktion f wird Homöomorphismus genannt.

homotop

Zwei Teilmengen eines topologischen Raums sind homotop, wenn sie sich stetig ineinander deformieren lassen.

hyperbolisch

In der Geometrie eine Kurve, die als Hyperbel beschrieben werden kann.
Eine fundamentale Klasse partieller Differentialgleichungen heißt hyperbolisch.
Eine fundamentale Klasse nichteuklidischer Geometrien heißt hyperbolisch.
Ein zweidimensionaler Bilinearraum (V, b) heißt hyperbolische Ebene, wenn er zwei Vektoren x und y mit der Eigenschaft b(x,x) = 0, b(y, y) = 0, b(x, y) = 1 enthält.
Ein Bilinearraum, der als orthogonale Summe von hyperbolischen Ebenen dargestellt werden kann, heißt hyperbolischer Raum.

I

ideal

In der Zahlentheorie wurden gewisse auf komplexe Wurzeln der Eins (Einheitswurzeln) aufgebaute Zahlen von Ernst Kummer ideal genannt; diese Idee wurde von Dedekind in der abstrakt algebraischen Entität Ideal verallgemeinert.

idempotent

Eine Matrix A heißt idempotent, wenn AA=A.

indefinit

Die Matrix A heißt indefinit, wenn A mindestens einen positiven und einen negativen Eigenwert besitzt.

inhomogen

Für ein lineares Gleichungssystem siehe unter homogen.

injektiv

Eine Funktion heißt injektiv, wenn niemals zwei verschiedene Elemente denselben Funktionswert haben. Eine injektive Funktion ist auf ihrer Wertemenge eindeutig umkehrbar und heißt deshalb auch eineindeutig. Ein injektiver Homomorphismus heißt auch Monomorphismus.
Ein Objekt J einer Kategorie heißt injektiv, wenn sich Morphismen von Unterobjekten nach J stets auf das ganze Objekt ausdehnen lassen.

invers

Zwei mathematische Operationen heißen invers zueinander, wenn sich ihre Wirkung aufhebt. Beispiel: Integration ist invers zur Differentiation.
Zwei Elemente einer Gruppe heißen invers zueinander, wenn ihre Verknüpfung das neutrale Element der Gruppe ergibt. Siehe Inverses Element.

invertierbar

Eine Funktion $f\!$ heißt invertierbar, wenn die Umkehrfunktion $f^{-1}\!$ existiert. Dann gilt $f^{-1}(f(x)=x\!$ für alle $x\!$ aus der Definitionsmenge von $f\!$ bzw. $f\left(f^{-1}(y)\right)=y$ für alle $y\!$ aus der Bildmenge von $f\!$ . Eine Funktion ist genau dann invertierbar, wenn sie bijektiv ist.

In der linearen Algebra heißt eine quadratische Matrix A invertierbar, wenn die inverse Matrix A^-1 existiert (Dies ist der Fall, wenn die Determinante $\left|A\right| \neq 0$ ist). Dann gilt A A^-1 = A^-1 A = 1.

involutorisch

Eine quadratische Matrix heißt involutorisch, wenn ihr Quadrat die Einheitsmatrix ist.
Eine Abbildung heißt involutorisch, wenn das zweifache Anwenden die Identität ist. Anschaulich: Zwei Mal machen macht gar nichts. Beispiele sind die komplexe Konjugation, die hermitesche Konjugation, das Transponieren, das Invertieren und viele mehr.

irrational

siehe irrationale Zahlen

irreduzibel

Ringtheorie: irreduzibles Element
Eine lineare Darstellung heißt irreduzibel, wenn sie nicht reduzibel ist, wenn also der Vektorraum, in dem die Darstellung stattfindet, keine nichttrivialen Unterräume hat, die unter allen darstellenden Transformationen erhalten bleiben. Die Klassifikation nach irreduziblen Darstellungen ist die Hauptaufgabe der Darstellungstheorie.

irreflexiv

Eine zweistellige Relation R heißt irreflexiv, wenn kein Element in Relation zu sich selbst steht: ¬ ∃ x: xRx. "Irreflexiv" ist somit nicht das Gegenteil von "reflexiv": eine Relation kann ohne weiteres weder reflexiv noch irreflexiv sein. Die Relation auf der leeren Menge ist sowohl reflexiv als auch irreflexiv. Eine irreflexive Ordnungsrelation heißt strikt.

isometrisch isomorph

Zwei metrische Räume heißen isometrisch isomorph, wenn sie durch eine bijektive Isometrie aufeinander abgebildet werden können.

isomorph

Zwei Mengen heißen isomorph, wenn sie durch einen Isomorphismus, also eine bijektive strukturerhaltende Abbildung aufeinander abgebildet werden können.

isotrop

Ein Element x eines Bilinearraumes (V, b) heißt isotrop, wenn die Gleichung b(x, x) = 0 gilt.

J

K

kanonisch

"Das Wort kanonisch wird für ein Objekt gebraucht, von dessen Sorte es zwar viele gibt, das aus seinen Artgenossen aber so deutlich herausragt, dass es «in gewissem Sinne» eindeutig ist. Sie merken: der Begriff ist schwammig - und wenn man ganz genau hinsieht, zerläuft er einem unter den Fingern. [...] Meine Meinung: Kanonisch ist ein Wort, das fast keine Bedeutung hat. Verwenden Sie es für die kanonische Basis des Vektorraums Kⁿ und sonst nicht!" A. Beutelspacher.
Die kanonische Basis des Vektorraums R³ ist {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. Achtung: nicht jeder Vektorraum hat eine kanonische Basis.
Die kanonische Abbildung φ eines Vektorraums V auf einen Faktorraum V/U ist durch φ(v)=v+U gegeben.

Klasse C^p

kleinstes

Ein Element x einer halbgeordneten Menge heißt kleinstes Element, wenn alle anderen Elemente größer sind, d.h. für jedes Element y die Relation x ≤ y gilt. Das kleinste Element einer halbgeordneten Menge existiert nicht immer, ist aber im Falle seiner Existenz eindeutig bestimmt. Siehe auch minimal und größtes.

kollinear

Drei oder mehr Punkte, die auf einer Geraden liegen, heißen kollinear.
Eine Abbildung zwischen Vektorräumen, die alle Geraden wieder auf Geraden abbildet, heißt kollinear oder projektiv. Siehe Kollineare Abbildung.

Kolmogoroff'sch

Ein topologischer Raum ist ein Kolmogoroff-Raum, wenn das Trennungsaxiom T₀ gilt: zu jedem Paar von unterschiedlichen Punkten gibt es eine offene Menge, die einen Punkt enthält, jedoch nicht den anderen.

kommutativ

Eine zweistellige Verknüpfung · heißt kommutativ, wenn x·y = y·x (das Kommutativgesetz) für alle x und y gilt.
Eine Gruppe heißt kommutativ (auch: abelsch), wenn ihre Verknüpfung kommutativ ist.

kompakt

Ein topologischer Raum ist kompakt, falls jede offene Abdeckung eine endliche Unterabdeckung besitzt. Kompakte Räume sind immer lindelöf und parakompakt. Kompakte Hausdorff-Räume sind somit normal.
(aus der obigen Definition folgt:) Eine Teilmenge $M$ eines metrischen Raumes ist kompakt, wenn jede Folge in $M$ eine in $M$ konvergente Teilfolge besitzt.

komplementär

konform

Eine Abbildung f aus einem Gebiet G in die komplexe Ebene C heißt lokal konform, wenn sie reell differenzierbar und winkeltreu (orientierungserhaltend) ist d.h. das Differential ist für alle Elemente des Gebiets eine Drehstreckung ( die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen gelten) .Mit anderen Worten: f ist lokal konform, wenn f analytisch auf einem Gebiet G ist und die Ableitung von f für jedes Element aus G von Null verschieden ist.
Ist f lokal konform und bijektiv, so heißt f konform.
Wenn f konform ist, so ist es auch die Umkehrabbildung

kongruent

Zwei geometrische Figuren heißen kongruent oder deckungsgleich, wenn sie durch Verschiebung, Drehung und Spiegelung aufeinander abgebildet werden können. Siehe Kongruenz (Geometrie). Wird zusätzlich zentrische Streckung zugelassen, heißen die Figuren ähnlich.
In Algebra und Zahlentheorie heißen zwei Zahlen kongruent modulo m, wenn sie denselben Rest bezüglich eines Divisors m haben. Beispiel: 3 ≡ 24 mod 7. Siehe Kongruenz (Zahlentheorie).

konjugiert

Zwei Komplexe Zahlen a und b heißen komplex konjugiert zueinander, wenn ihre Realteile übereinstimmen und ihre Imaginärteile unterschiedliches Vorzeichen haben. Beispiel: die komplex Konjugierte von 2+i ist 2-i.
Matrizen heißen komplex konjugiert zueinander, wenn alle ihre Koeffizienten komplex konjugiert zueinander sind.

Eine Matrix, die komplex konjugiert zu sich selbst ist, ist reell.

Eine Matrix, die komplex konjugiert zu ihrer Transponierten ist, heißt hermitesch oder selbstadjungiert.

In der Funktionalanalysis heißen lineare Operatoren komplex konjugiert zueinander, wenn ...
In der abstrakten Algebra heißen zwei über K algebraische Elemente einer Körpererweiterung L/K zueinander konjugiert, wenn sie dasselbe Minimalpolynom über K haben. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von a in L heißen Konjugierte von a (in L). Jeder K-Automorphismus von L (der K punktweise festhält) bildet a auf eine seiner Konjugierten ab.
In einer Gruppe (G, *) heißen die Elemente $a$ und $b$ zueinander konjugiert, wenn es ein Gruppenelement $c$ gibt, so dass $b = c - 1 a c$ ist. Die Abbildung $a \mapsto c^{-1}ac$ heißt Konjugation mit c. Sie ist ein Automorphismus der Gruppe. Zwei Untergruppen U und V heißen zueinander konjugiert, wenn es ein Element $c$ gibt, so dass $c U = V c$

L

lindelöf

Ein topologischer Raum ist lindelöf, falls jede offene Abdeckung eine abzählbare Unterabdeckung besitzt. Nach dem Mathematiker Ernst Leonhard Lindelöf.

linear

Eine Funktion der Form f(x) = a + bx heißt affin-linear. In der Elementarmathematik und vielen Anwendungen sagt man stattdessen nur linear. Das ist mit der folgenden, in weiten Teilen der Mathematik üblichen Definition von linear nur im Sonderfall a=0 kompatibel:
In der Algebra und zahlreichen darauf zurückgreifenden Gebieten der Mathematik heißt ein funktionaler Zusammenhang f(x) linear, wenn er folgende zwei Bedingungen erfüllt: (1) Superposition: f(x + y) = f(x) + f(y); (2) Homogenität: f(αx) = αf(x) für alle α aus einem zugrunde liegenden Körper.
In der Logik heißen Terme linear, wenn sie jede Variable höchstens einmal enthalten.
Die Funktionalanalysis handelt von linearen Operatoren.
Eine lineare Ordnungsrelation heißt auch total, siehe dort.
In der Codierungstheorie heißt ein Code linear, wenn er die Struktur eines Vektorraumes trägt.

Lipschitz-stetig

Eine reelle Funktion heißt Lipschitz-stetig, wenn die Anstiege aller Sekanten nach oben und unten beschränkt sind. Der Begriff kann auf Funktionen in metrischen Räumen ausgedehnt werden.

lokal endlich

Ein System von Teilmengen eines topologischen Raums ist lokal endlich, falls jeder Punkt eine Umgebung hat, die nur endlich viele der Teilmengen berührt.

lokal Lipschitz-stetig

lokal metrisierbar

Ein topologischer Raum ist lokal metrisierbar, falls jeder Punkt eine metrisierbare Umgebung besitzt.

lokal zusammenhängend

M

maximal

Ein Element einer halbgeordneten Menge heißt maximal, wenn es in der Ordnung kein größeres Element gibt. Dieses Element muss nicht das größte Element sein: Wenn es mehrere maximale Elemente gibt, gibt es kein größtes.
Ideal (Mathematik), Untermodul
Ein Orthonormalsystem S eines Hilbertraums H heißt maximal, wenn es in H außer dem Nullvektor keinen Vektor gibt, der zu allen Vektoren aus S orthogonal ist. Das heißt, es gilt für alle x aus H $\left( \langle x, u \rangle = 0 \ \forall u \in S \right) \Rightarrow x=0$ .

messbar

Messbarer Raum wäre die wörtliche Übersetzung des englischen measurable space, der auf Deutsch eingeführterweise Messraum heißt; siehe Maßtheorie. Die einzelnen Mengen der σ-Algebra eines Maßraums (d.h. eines Messraums, auf dem ein Maß definiert ist) heißen jedenfalls messbar; siehe auch dazu den Artikel Maßtheorie.
Messbar ist nicht das gleiche wie metrisierbar, da ein Maß keine Metrik ist.

metrisierbar

Ein topologischer Raum ist metrisierbar, falls er homöomorph zu einem metrischen Raum ist. Metrisierbare Räume sind immer Hausdorff'sch und parakompakt (und daher normal und Tychonoff'sch) und erst-abzählbar).

minimal

Ein Element einer halbgeordneten Menge heißt minimal, wenn es in der Ordnung kein kleineres Element gibt. Dieses Element muss nicht das kleinste Element sein: Wenn es mehrere minimale Elemente gibt, gibt es kein kleinstes.

monoton

Folge
Logik

multilinear

Eine Abbildung die Argumente aus mehreren Vektorräumen in einen Vektorraum abbildet, heißt multilinear, wenn sie in jedem Argument linear ist, wobei alle Vektorräume über demselben Skalarkörper definiert sein müssen. Eine multilineare Abbildung in den Skalarkörper ist eine Multilinearform.

multivariat

Analysis: Ein Funktion ist multivariat, wenn sie mehrere unbestimmte Variablen enthält.

Beispiele:

univariates Polynom (in einer Unbestimmten): $x 2 + 3 x + 4$
multivariates Polynom (in mehreren - hier: drei - Unbestimmten): $3 x 2 y + y 2 z - x 2 z 3$

Statistik: Die gemeinsame Verteilung mehrerer Zufallsvariablen ist multivariat. Ebenso ist die gemeinsame Analyse mehrerer statistischer Merkmale multivariat.

Siehe auch univariat.

N

natürlich

Eine Abbildung zwischen zwei Konstruktionen F(A) und G(A) zu einem Objekt heißt natürlich, wenn sie kompatibel mit dem Austausch von A durch andere Objekte ist. Beispiel: die Determinante als Abbildung der n × n-Matrizen in den Grundkörper ist kompatibel mit dem Übergang zu einem Erweiterungskörper. Siehe Kategorientheorie

negativ

Eine reelle Zahl heißt negativ, wenn sie kleiner als Null ist. Eine Zahl, die kleiner oder gleich Null ist, bezeichnet man am kürzesten als nicht-positiv. Siehe positive und negative Zahlen.

negativ definit

Eine reelle symmetrische oder komplexe hermitesche Bilinearform s:V×V→K heißt negativ definit, wenn s(v,v) < 0 für alle v aus V\{0}. Siehe auch positiv definit.

nilpotent

Ein Endomorphismus f eines Vektorraums oder eine quadratische Matrix A heißen nilpotent, wenn es eine Zahl p≥1 gibt, so dass f^p=0 bzw. A^p=0.
Nilpotente Gruppe

nirgendwo dicht

Eine Teilmenge M eines topologischen Raums R ist nirgendwo dicht, wenn das Innere ihres Abschlusses leer ist. Beispiel: die Menge der ganzen Zahlen Z ist nirgendwo dicht in der Menge der reellen Zahlen R.

normal

In der Geometrie, insbesondere in der analytischen Geometrie, heißt eine Gerade normal zu einer Ebene, wenn sie senkrecht auf dieser steht.
In der Topologie heißt ein topologischer Raum normal, falls beliebige zwei disjunkte abgeschlossene Mengen disjunkte Umgebungen haben. Normalräume erlauben Zerlegungen der Eins. Normale T₁-Räume sind immer Tychonoff-Räume.
In der Statistik ist eine Zufallsvariable normal, wenn sie normalverteilt (Gauß-verteilt) ist.
In der Gruppentheorie sagt man im Deutschen statt normale Untergruppe üblicherweise Normalteiler. Ein Normalteiler ist invariant unter Konjugation beliebiger Gruppenelemente.
In der Körpertheorie ist eine endliche Körpererweiterung $L | K$ normal, wenn jedes irreduzible Polynom über $K$ , das eine Nullstelle in $L$ hat, dort in Linearfaktoren zerfällt. Äquivalent dazu ist, dass das Bild einer Einbettung $L\hookrightarrow\bar K$ in einen algebraischen Abschluss von $K$ nicht von der Einbettung abhängt. Beispiel: $\mathbb Q(\sqrt[3]2)|\mathbb Q$ ist nicht normal.
In der kommutativen Algebra heißt ein Ring normal, wenn er nullteilerfrei und ganzabgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist oder diese Bedingung für alle lokalen Ringe erfüllt ist. Beispiel: $\mathbb Z[\sqrt5]$ ist nicht normal, der ganze Abschluss im Quotientenkörper $\mathbb Q(\sqrt5)$ ist $\mathbb Z\!\left[\frac{1+\sqrt5}2\right].$
In der linearen Algebra heißt eine Matrix A normal, wenn sie mit ihrer komplex konjugierten Transponierten (hermitesch Adjungierten) kommutiert, $A^{\dagger}A=AA^{\dagger}$ .
In der Funktionalanalysis heißt ein linearer Operator in einem Hilbert-Raum normal, wenn er mit seinem adjungierten Operator kommutiert.

normiert

Ein Normierter Raum ist ein Vektorraum, der mit einer Norm ausgestattet ist.
Ein Vektor in einem normierten Raum heißt normiert (oder Einheitsvektor), wenn er die Norm 1 hat.

notwendig

Eine Aussage A ist eine notwendige Bedingung einer anderen Aussage B, wenn zwischen den beiden Aussagen die logische Beziehung "aus B folgt A" (kurz: B ⇒ A) besteht. Der Gegenbegriff ist hinreichend.

O

offen

Auf der reellen Zahlengerade heißt ein Intervall I := ]a,b[ = (a,b) offen, wenn es durch I = {x∈R | a<x<b } gegeben ist.
Welche Teilmengen eines topologischen Raums offen heißen, ist Teil der Struktur eines topologischen Raumes. Aus einer Menge wird ein topologischer Raum genau dadurch, dass man angibt, welche Mengen offen heißen sollen.
Eine Menge, die Umgebung aller ihrer Punkte ist, heißt offen.

Ordnung

Die Ordnung einer Gruppe ist die Anzahl ihrer Elemente (die Mächtigkeit der der Gruppe zugrunde liegenden Menge).
In der Gruppentheorie ist die Ordnung n eines Gruppenelements g die kleinste positive ganze Zahl, für die gⁿ=e gilt (mit dem neutralen Element e).
Die Ordnung einer Nullstelle oder einer Polstelle ist dessen Vielfachheit.
Die Ordnung einer Differentialgleichung ist der höchste vorkommende Ableitungsgrad.
Die Ordnung eines Terms, mit einem Landau-Symbol O(x) bezeichnet, beschreibt die Geschwindigkeit, mit der dieser Term in einem Grenzübergang divergiert.
Ordnung kann außerdem Anordnung bedeuten, also die durch eine Ordnungsrelation induzierte Struktur bezeichnen.
In der algebraischen Zahlentheorie heißt ein Unterring $O$ des Ganzzahlringes eines Zahlkörpers $K$ eine Ordnung, wenn $O$ eine Ganzheitsbasis der Länge $[K:\mathbb Q]$ besitzt.

orthogonal

In der Geometrie sind zwei Geraden oder Ebenen orthogonal zueinander, wenn sie einen rechten Winkel bilden.
Ein Koordinatensystem heißt orthogonal, wenn seine Achsen paarweise orthogonal zueinander sind.
Eine Projektion heißt orthogonal, wenn die Projektionsstrahlen senkrecht auf die Projektionsflläche treffen.
In der linearen Algebra und analytischen Geometrie sind zwei Vektoren orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
Da in der Funktionalanalysis Funktionen als Vektoren aufgefasst werden, folgt unmittelbar, dass zwei Funktionen f und g orthogonal zueinander heißen, wenn ihr inneres Produkt null ist; das innere Produkt in Funktionenräumen ist in der Regel definiert als Integral von f^*(x)g(x), gegebenenfalls multipliziert mit einer Gewichtsfunktion w(x).
Eine quadratische Matrix A heißt orthogonal, wenn ihre Inverse A^-1 mit ihrer Transponierten A^T übereinstimmt, wenn also A A^T = A^T A = 1. Siehe: orthogonale Matrix. Orthogonale Matrizen besitzen in aller Regel reelle Koeffizienten. Matrizen mit komplexen Koeffizienten, die analoge Symmetrieeigenschaften besitzen, heißen unitär; die Transposition wird dabei durch die hermitesche Konjugation ersetzt.
Die Menge aller orthogonalen Matrizen vom Rang n über dem Körper K heißt orthogonale Gruppe O(n,K).

orthonormal

"Orthonormal" ist ein Kunstwort aus "orthogonal" (s.o) und "normiert", d.h. zwei Vektoren sind genau dann orthonormal zueinander (bzw. bilden dann ein so genanntes Orthonormalensystem), wenn sie orthogonal stehen und die Vektoren Einheitsvektoren sind (Vektoren der Länge 1).

P

parabolisch

In der Geometrie eine Kurve, die als Parabel beschrieben werden kann.
Eine fundamentale Klasse partieller Differentialgleichungen heißt parabolisch.

parakompakt

Ein topologischer Raum ist parakompakt, falls jede offene Überdeckung eine offene, lokal endliche Verfeinerung besitzt. Parakompakte Hausdorff-Räume sind normal.

perfekt

In der Zahlentheorie heißen natürliche Zahlen perfekt, wenn sie gleich der Summe ihrer Teiler sind. Beispiele: 6=3+2+1; 28=1+2+4+7+14. Ob es ungerade perfekte Zahlen gibt, ist bis heute unbekannt. Siehe vollkommene Zahl.

positiv

Eine reelle Zahl heißt nach vorherrschendem Sprachgebrauch positiv, wenn sie größer als Null ist. Zahlen, die größer oder gleich Null sind, werden am kürzesten als nicht-negativ bezeichnet. Siehe positive und negative Zahlen.

positiv definit

Eine reelle symmetrische oder komplexe hermitesche Bilinearform s:V×V→K heißt positiv definit, wenn s(v,v) > 0 für alle v aus V\{0}.
Eine Matrix $A\in\mathbb{K}^{n \times n}$ heißt positiv definit, falls $z^T Az>0,~z\in \mathbb{K}^n\backslash\left\{0\right\}$ . Ist $z^T Az\ge0$ , so bezeichnet man $A$ als positiv semidefinit. In der Anwendung gilt meistens $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ oder $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ .
Siehe auch negativ definit.

präkompakt

Siehe total beschränkt oder relativ kompakt

prim

Eine natürliche Zahl heißt prim oder eine Primzahl, wenn sie außer den beiden trivialen Teilern (die Zahl selbst und die 1) keine weiteren Teiler besitzt. Die Zahlen 0 und 1 werden ausgeschlossen und sind keine Primzahlen.
Allgemein heißt ein Element eines Integritätsrings prim, wenn es ungleich 0 und keine Einheit ist, und als Teiler eines Produkts auch immer einen der Faktoren teilt.

projektiv

Siehe Projektive Geometrie, Projektive Abbildung
Ein Objekt P einer Kategorie heißt projektiv, wenn sich Morphismen mit Quelle P entlang von Epimorphismen hochheben lassen.

Pythagoräisch

Ein Pythagoräisches Tripel sind drei natürliche Zahlen $x, y, z$ , welche die aus dem Satz des Pythagoras bekannte Gleichung $x 2 + y 2 = z 2$ erfüllen. Beispiele: 3,4,5; 5,12,13. Siehe Pythagoräisches Tripel.

R

Rang

In der linearen Algebra ist der Rang einer linearen Abbildung die Dimension des Bildraums. Die Dimension einer Matrix ist die Dimension der durch die Matrix vermittelten linearen Abbildung.
Der Rang eines Tensors ist die Anzahl der Vektorräume, aus deren direktem Produkt der Tensor gebildet ist.
In Anlehnung an den Rang eines Tensors ist in der Informatik, jedenfalls in der Fachsprache von Fortran, der Rang eines Feldes (Arrays) die Anzahl seiner Indizes.
Für den Rang einer abelschen Gruppe siehe vorerst den englischen Artikel .

rational

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die sich als Quotient aus zwei ganzen Zahlen darstellen läßt.
Eine rationale Funktion ist eine Funktion, die in die Menge der rationalen Zahlen abbildet.
Ein rationaler Baum ist ein möglicherweise unendlicher gerichteter Baum, der aber nur endlich viele verschiedene Unterbäume enthält.

reduzibel

Eine lineare Darstellung heißt reduzibel, wenn der Vektorraum, in dem die Darstellung stattfindet, nichttriviale Unterräume hat, die unter allen darstellenden Transformationen erhalten bleiben. Eine reduzible Darstellung kann in eine direkte Summe aus irreduziblen Darstellungen ausreduziert werden.
Ringtheorie: reduzibles Element

reell

Natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen sind alle reell.
Komplexe Zahlen sind reell, wenn ihr Imaginärteil Null ist.
Eine Matrix ist reell, wenn ihre sämtlichen Koeffizienten reell sind.
Ein Körper heißt formal reell, wenn sein Element -1 nicht als Summe von Quadraten darstellbar ist.

reflexiv

Eine zweistellige Relation R heißt reflexiv, wenn jedes Element in Relation zu sich selbst steht: ∀ x: xRx. Wenn kein Element in Relation zu sich selbst steht, heißt die Relation irreflexiv.

regelmäßig

In der Geometrie heißen gleichseitige, gleichwinklige Vielecke und gleichflächige Körper (Platonische Körper) regelmäßig.

regulär

In der Geometrie werden regelmäßige Vielecke und Körper aufgrund schlechter Übersetzungen aus dem Englischen auch regulär genannt.
Eine parametrisierte differenzierbare Kurve heißt regulär, falls ihre Ableitung in keinem Punkt verschwindet.
In der Topologie heißt ein topologischer Raum regulär wenn jede Umgebung eines Punkts eine abgeschlossene Umgebung desselben Punkts enthält. Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass alle abgeschlossenen Mengen C und Punkte p, die nicht in C liegen, disjunkte Umgebungen besitzen. Siehe Regulärer Raum. Reguläre T₀-Räume sind immer Hausdorff'sch.
In der linearen Algebra heißt eine invertierbare Matrix auch regulär.
In der Funktionentheorie wird regulär manchmal gleichbedeutend mit holomorph gebraucht.
In der Funktionentheorie bezeichnet man ferner eine hebbare (oder algebraische) Singularität als regulär.
In der theoretischen Informatik bezeichnet man eine formale Sprache als regulär, wenn sie durch einen regulären Ausdruck, eine reguläre Grammatik oder einen endlichen Automaten erkannt werden kann.
Eine Bilinearform, die nicht entartet ist, heißt regulär.

relativ kompakt (oder relativkompakt)

Eine Menge $F\subseteq\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ heißt relativ kompakt (oder präkompakt), wenn jede Folge aus $F$ eine in $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ konvergente Teilfolge besitzt. Dies ist äquivalent zu: jede Folge aus $F$ besitzt eine in $F$ gleichmäßig konvergente Teilfolge.
kurz: eine Teilmenge eines metrischen Raumes heißt relativ kompakt, wenn ihr Abschluss kompakt ist.

S

schließlich

Kurzform für "ab einem bestimmten Index".

selbstadjungiert

Eine Matrix heißt selbtsadjungiert genau dann, wenn sie hermitesch ist. Siehe hermitesch.
In der Funktionalanalysis heißt ein linearer Operator f auf einem Hilbert-Raum H selbstadjungiert, wenn das innere Produkt (,) für alle x und y aus H die Beziehung (x,fy)=(fx,y) erfüllt.

Unter zusätzlichen topologischen Bedingungen heißt ein selbstadjungierter Operator auch hermitesch.

seltsam

Ein Attraktor heißt seltsam, wenn er chaotisch oder fraktal ist.

semidefinit

Positiv semidefinit:
Negativ semidefinit:

semilinear

Eine Abbildung f: V→W zwischen zwei Vektorräumen über dem Körper C der komplexen Zahlen heißt semilinear (oder auch antilinear), wenn $f (v + w) = f (v) + f (w)$ und $f(\lambda v)=\overline{\lambda}f(v)$ mit v, w aus V und λ aus C. Der Strich über dem Koeffizienten λ bezeichnet komplexe Konjugation.
Ist allgemeiner $R$ ein Ring und $\sigma\colon R\to R$ ein Endomorphismus, so heißt eine additive Abbildung $f\colon V\to W$ $σ$ -semilinear, wenn $f(\lambda v)=\sigma(\lambda)\cdot f(v)$ für alle $\lambda\in R$ und $v\in V$ gilt.

separabel

Ein topologischer Raum ist separabel falls er eine abzählbare dichte Teilmenge hat. Beispiel: Die Menge R ist separabel, weil Q dicht in R liegt.
Ein Polynom über einem Körper ist separabel, wenn (es gibt zwei Definitionen):
- es in seinem Zerfällungskörper nur einfache Nullstellen hat, bzw.
- jeder seiner irreduziblen Teiler in seinem Zerfällungskörper nur einfache Nullstellen hat.

Siehe Körpererweiterung.

sesquilinear

Eine Abbildung <,>: V×W→C (mit zwei Vektorräumen V, W und dem Körper C der komplexen Zahlen) heißt sesquilinear (anderthalbfach linear), wenn sie linear im einen und semilinear im anderen Argument ist, wenn also $\langle cx,dy \rangle=c\overline{d}\langle x,y \rangle$ oder, in der entgegengesetzten, ebenfalls gebräuchlichen Konvention, $\langle cx,dy \rangle=\overline{c}d \langle x,y \rangle$ . Das innere Produkt in einem unitären Raum ist eine hermitesche Form, also eine Sesquilinearform <,>: V×V→C, die unter Vertauschung der beiden Argumente in ihr komplex Konjugiertes übergeht.

singulär

Eine quadratische Matrix heißt singulär, wenn sie nicht invertierbar ist.

speziell

Die spezielle lineare Gruppe SL(V), die spezielle orthogonale Gruppe SO(V), die spezielle unitäre Gruppe SU(V) entstehen aus der allgemeinen linearen Gruppe GL(V), der orthogonalenGruppe O(V) und der unitären Gruppe U(V) durch Beschränkung auf Matrizen mit der Determinante 1.

stetig

Eine Funktion von einem topologischen Raum in einen anderen heißt stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist.

strikt

Eine Relation "<" heißt strikte Halbordnung, wenn sie transitiv und irreflexiv ist, wenn es also kein Element x gibt, für das x<x.

surjektiv

Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jedes Element der Wertemenge Funktionswert mindestens eines Elements der Definitionsmenge ist. Wenn man in dieser Definition mindestens durch genau ersetzt, erhält man die Definition von bijektiv. Eine surjektive Funktion heißt gelegentlich Surjektion, in bestimmtem Kontext auch Projektion. Ein surjektiver Homomorphismus von M nach N heißt auch Homomorphismus "von M auf N".

symmetrisch

Eine Relation R heißt symmetrisch, wenn aus a R b stets b R a folgt.
Eine Matrix heißt symmetrisch, wenn sie bei Austausch der Indizes (gleichbedeutend mit Spiegelung an der Hauptdiagonalen) in sich selbst übergeht, wenn also für ihre Koeffizienten gilt a_ij=a_ji. Eine symmetrische Matrix stimmt mit ihrer Transponierten überein. Viele Symmetrieeigenschaften reeller symmetrischer Matrizen gelten im Fall komplexer Koeffizienten nicht für symmetrische, sondern für hermitesche Matrizen.
Die symmetrische Gruppe Sym_n oder S_n besteht aus allen Permutationen einer Menge mit n Elementen, Gruppenoperation ist die Verkettung der Permutationen.

T

teilbar

Ein Element a eines Integritätsrings R heißt teilbar durch ein Element b, wenn es ein Element c gibt, so dass die Gleichung a = b · c gilt. b und c heißen dann Teiler von a.

teilgeordnet

total

Eine Relation R heißt total oder linear, wenn je zwei Elemente in der Relation zueinander stehen, wenn also für jedes Paar von Elementen a, b gilt: a R b oder b R a. Ein Spezialfall davon ist der folgende Punkt:
Eine strenge Halbordnung "<" heißt total oder linear, wenn für jedes Paar verschiedener Elemente a, b gilt: a < b oder b < a.

total beschränkt

Äquivalente Bezeichnung: präkompakt

Salopp: Eine Menge heißt präkompakt, wenn sie sich mit endlich vielen epsilon-Kugeln überdecken lässt.

Exakt: Eine Menge M heißt präkompakt, wenn es zu jedem positiven reellen ε eine natürliche Zahl n gibt, so dass es Punkte m₁,...m_n gibt, so dass die Vereinung aller Kugeln mit Radius ε um die Punkte m_i gerade M enthält.

transitiv

Eine Relation R heißt transitiv, wenn aus xRy und yRz folgt, dass xRz.
In der Gruppentheorie ist eine Operation transitiv, wenn sie nur eine Bahn hat, also jedes Element durch ein geeignetes Gruppenelement auf jedes andere Element abgebildet wird. Die Operation heißt zweifach transitiv, wenn die Gruppe transitiv auf der Menge aller Paare operiert, sie heißt scharf transitiv, wenn jedes Element durch genau ein Gruppenelement auf ein gegebenes anderes Element abgebildet wird. Entsprechend gibt es die Begriffe dreifach transitiv, zweifach scharf transitiv etc.

transponiert

In der linearen Algebra heißen die Matrizen A = (a_ij) vom Format m×n und A^T = (a_ji) vom Format n×m zueinander transponiert. Siehe auch adjungierte Matrix.

transzendent

Eine Funktion heißt transzendent, wenn sie nicht durch eine endliche Anzahl elementarer Rechenoperationen dargestellt werden kann, also nicht algebraisch ist.
Eine komplexe Zahl heißt transzendent, wenn sie nicht algebraisch, also nicht Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist, siehe transzendente Zahl.
Ein Element einer Körpererweiterung heißt transzendent, wenn sie nicht algebraisch, also nicht Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus dem zu erweiternden Körper ist, siehe algebraisches Element.

treu

Eine Darstellung heißt treu, wenn der Darstellungshomomorphismus injektiv ist, wenn also verschiedene Gruppenelemente stets durch verschiedene Transformationen dargestellt werden.

trivial

Eine mathematische Aussage heißt trivial, wenn sie sich ohne jeden Zwischenschritt aus einer Definition oder einem Satz ergibt. Missbräuchlich wird dieses Attribut auch auf Aussagen angewandt, die auf einem gegebenen Niveau mit vergleichsweise elementaren Mitteln hergeleitet werden können (trivial ist, was der Prof nicht noch einmal erklären möchte).
Mathematische Objekte heißen trivial, wenn sie besonders einfach sind. Beispiel: Die trivialen Teiler einer natürlichen Zahl n sind 1 und n, man kann sie angeben, ohne genaueres über n (beispielsweise die Primfaktorzerlegung) zu kennen.

U

umkehrbar eindeutig

Soviel wie bijektiv.

unitär

In der abstrakten Algebra heißt ein Ring unitär oder Ring mit 1, wenn er ein bezüglich der Multiplikation neutrales Element besitzt.

Eine Matrix $A \in \mathbb{C}^{n\times n}$ heißt unitär genau dann, wenn $A^{-1}=A^{\dagger}:=\overline{A}^{\rm T}$ , wenn also ihre Inverse mit ihrer hermitesch Adjungierten übereinstimmt (siehe: Unitäre Matrix).
Die Menge aller unitären Matrizen vom Rang n über den komplexen Zahlen heißt unitäre Gruppe U(n).
Ein Innenproduktraum (insbesondere also ein