Großer fermatscher Satz

Der große fermatsche Satz (auch unter Fermats letztes Theorem, Fermats letzter Satz oder fermatsche Vermutung bekannt) wurde von Pierre de Fermat formuliert und besagt, dass die Gleichung (fermatsches Tripel)

an + bn = cn

für ganzzahlige a, b, c ungleich 0 und natürliche Zahlen n größer als 2 keine Lösung besitzt.

Inhaltsverzeichnis
1 Geschichte
2 Der Beweis
3 Siehe auch
4 Literatur

4.1 Originalarbeiten
4.2 Übersichtsartikel und Historisches

Geschichte

Fermat beschäftigte sich im 17. Jahrhundert mit dem Satz des Pythagoras in der ARITHMETICA von Diophantos und behauptete um das Jahr 1637:

"Cubum autem in duos cubos aut quadrato quadratum in duos quadrato quadratos et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere."

auf deutsch:

"Es ist unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben zu zerlegen, oder ein Biquadrat in zwei Biquadrate, oder allgemein irgendeine Potenz größer als die zweite in Potenzen gleichen Grades."

Dass Fermat zusätzlich zu seiner Behauptung notierte "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet." (deutsch: "Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis gefunden, doch ist der Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen") forderte viele Mathematiker besonders heraus. Denn hier kam der ärgerlichste Zug Fermats zur Geltung. Seine Worte lassen nämlich darauf schließen, dass ihm ein "wahrhaft wunderbarer" Beweis gelungen sei. Er machte sich jedoch nicht die Mühe, den Beweis niederzuschreiben oder ihn zu veröffentlichen. Seinen Beweis teilte er nie jemandem mit.

Generationen von Mathematikern suchten erfolglos nach dem Beweis. Darunter waren die bedeutendsten ihrer Zeit. So fanden beispielsweise für n = 3 unabhängig voneinander Euler (1770) und Gauß den Beweis. Für n = 5 bewiesen im Jahre 1825 Dirichlet und Legendre den Satz. Später bewies Dirichlet noch den Fall n = 14. Den Fall n = 7 erledigte 1839 Lame. 1908 setzte Paul Friedrich Wolfskehl, ein Bankier aus Darmstadt, 100.000 Goldmark für denjenigen aus, der zuerst einen Beweis in einer Fachzeitschrift veröffentlicht; Einsendeschluss war der 23. September 2007.

Heute wird angenommen, dass Fermat einen Beweis für einen Spezialfall (n = 4) gefunden hatte, von dem er glaubte, ihn verallgemeinern zu können. Die von Wiles benutzten Theorien waren damals noch nicht entwickelt. Ob es einen elementareren Beweis gibt, den Fermat eventuell gefunden haben könnte, ist heute unter Zahlentheoretikern strittig.

Besonderes Kopfzerbrechen dabei macht der Umstand, dass Fermat sich bei der Lösung zahlentheoretischer Probleme sehr häufig der Methode der "déscente infinie" bediente, die sich in diesem speziellen Fall als wenig erfolgreich erwies. Andererseits ist es gut möglich, dass Fermat das allgemeine Problem als Verallgemeinerung des Pythagoräischen Lehrsatzes auf spitzwinklige Dreiecke ansah, deren Winkel über der Hypotenuse zwischen >60° und <90° lag. Alle Zahlentripel a,b,c bilden solche Dreiecke, in denen a gleich u + y, b gleich u + x und c gleich u + x + y sind. Daraus hätte Fermat wohl schließen können, daß a+b, der Teiler von cp, eine Funktion von (x+y) sein müsse. Wenn sich nun herausstellte, daß a+b eine Potenz von (x+y) sein müsse, so wäre ihm der Beweis mit den ihm zur Verfügung stehenden Mitteln gelungen; denn zu jedem Zahlentripel (a,b,c), das der Bedingung genügt und in dem a,b,c zueinander paarweise relativ prim sind, muss es jedes beliebige konjugierte Zahlentripel der Form (ka, kb, kc) mit k = 1,2,3,... aus N ebenfalls geben, das der Bedingung genügt und für welches das aus ihnen gebildete Dreieck geometrisch ein dem Dreieck a,b,c ähnliches Dreieck entspräche. Beispiel: 32 + 42 = 52 erfordert 62 + 82 = 102 usf. Im Rahmen einer solchen Streckung wachsen alle Längen des gestreckten Dreiecks um den Faktor k an, also auch die Summe (a+b) und die Summe (x+y), und das gestreckte Dreieck wäre somit stets ähnlich. Gleichzeitig müßte (a+b) aber eine Potenz von (x+y) sein, weshalb es ein Zahlentripel aus Vielfachen von a,b,c nicht geben kann und damit auch das Zahlentripel a,b,c selbst unmöglich wäre: Das vergrößerte Dreieck wäre schlicht unähnlich, also in Bezug auf das ursprüngliche Dreieck "verzogen". Nur beim Fall p=2 entgeht man diesem "Verzerrungsdilemma", da c2 durch a+b nicht teilbar ist und daher zwischen a+b und x+y keine enge Beziehung besteht. Der Gedankengang, von der Nichtexistenz notwendiger Vielfacher auf die Nichtexistenz des originären Zahlentripels zu schließen, wäre ein Analogon zu Fermats Methode des "unendlichen Abstiegs".

Der Beweis

1994 gelang es dem britischen Mathematiker Andrew Wiles zusammen mit seinem Schüler Richard Taylor, den großen fermatschen Satz zu beweisen (Lit.: Wiles, 1995). Der eigentliche Beweis besteht aus zwei Teilen:

y^2 = x \cdot (x - a^n) \cdot (x + b^n)
nicht modular. Dies wurde 1986 von G. Frey vermutet und 1990 von K. Ribet bewiesen.

Im 98-seitigen Beweis (ohne Appendix und Literaturverzeichnis) (Lit.: Wiles, 1995) nutzt Wiles letztlich nahezu jedes Gebiet, das die heutige Zahlentheorie bietet. Aufgrund der langen Geschichte des Beweises und auch weil Wiles völlig neue Zusammenhänge in der Zahlentheorie und zwischen Teilgebieten der Mathematik erschloss, gilt seine Arbeit unter Mathematikern als eine der bedeutendsten des letzten Jahrhunderts.

Siehe auch

Literatur

Originalarbeiten

Übersichtsartikel und Historisches


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See also: Großer fermatscher Satz, 1637, 17. Jahrhundert, 1770, 1825, 1839, 1908, 1986