Grundlagen der Mathematik
Die Frage nach den Grundlagen der Mathematik liegt an der Schnittstelle zwischen Mathematik und Philosophie. Ziel der Frage ist, den Inhalt und einen Maßstab für die Richtigkeit mathematischer Aussagen zu bestimmen.
Aus Sicht der Philosophie der Mathematik gibt es hierzu mehrere Standpunkte. Nach dem ersten (Formalismus) ist eine Aussage einfach eine Zeichenkette, die bestimmten syntaktischen Regeln entspricht; ein Beweis für ihre Richtigkeit ist eine Abfolge von Zeichenketten, deren erste ein Axiom und deren letzte die zu beweisende Aussage ist, wobei jede Zeichenkette aus der vorigen durch Anwendung einer rein formalen Schlussregel hervorgeht. Nach dem zweiten (Platonismus) beschreiben mathematische Aussagen eine objektiv vorhandene Wirklichkeit. Neuere Theorien untersuchen demgegenüber Mathematik als Ergebnis menschlichen Handelns. Diese Standpunkte führen zu einer entsprechend unterschiedlichen Interpretation mathematischer Begriffe, indem sie etwa ein Axiom als willkürlich als solches ausgezeichnete Zeichenkette, als hinreichend gut gesicherte Tatsache oder als einstimmig vertretenen Ausgangspunkt innerhalb einer sozialen Gruppe verstehen.
Als Teilgebiet der Mathematik beruhen die Grundlagen der Mathematik auf dem formalistischen Standpunkt, d.h, der Bezug zur äußeren Wirklichkeit ist nicht Gegenstand der Untersuchung. Sie umfassen die Teilgebiete der Logik, Modelltheorie, Beweistheorie und Mengenlehre; oft (z.B. in der Gliederung der Mathematical Subject Classification) wird auch die Theorie der Berechenbarkeit zu den Grundlagen hinzugenommen.
Siehe auch
Kategorie:Mathematik