Hamiltonoperator

Der Hamiltonoperator (Symbol $\hat H$ ) beschreibt in der Quantenmechanik die Größe der Gesamtenergie eines Systems. Der Zustand eines quantenmechanischen Systems kann durch einen Vektor im abstrakten Hilbertraum charakterisiert werden. Die physikalisch beobachtbaren Größen wirken als hermitesche Operatoren auf diesen Vektor.

$\hat H = - {\hbar^2 \over 2m}\triangle+V(x)$

Anmerkung: $\hbar = {h \over 2 \pi}$ , wobei h das Plancksche Wirkungsquantum ist.

Der Hamiltonoperator $\hat H$ entspricht der beobachtbaren Größe der Gesamtenergie des Systems. Die Eigenvektoren von $\hat H$ , als |a> notiert, liefern einen Satz linear unabhängiger Basisvektoren im Hilbertraum. Das Spektrum der erlaubten Energieniveaus des Systems ist durch die Eigenwerte E_a gegeben:

$\hat H \left| a \right\rangle = E_a \left| a \right\rangle$ .

Da $\hat H$ ein hermitescher Operator ist, ist die Energie immer eine reelle Zahl.

Damit zusammen mit dem Hamiltonoperator ergibt sich die Stationäre Schrödingergleichung:

$\left( - {\hbar^2 \over 2m}\triangle + V(x) \right) \psi (x) = E \psi (x)$

Je nach System kann das Energiespektrum diskret oder kontinuierlich sein. In der Tat weisen Systeme häufig neben einem diskreten Energiespektrum auch ein energetisch höherliegendes Kontinuum auf. Ein Beispiel dafür ist ein endlicher Potentialtopf, in dem gebundene Zustände mit diskreten negative Energien und freie Zustände mit kontinuierlich verteilten, positiven Energien auftreten.

Der Hamiltonoperator beschreibt auch die zeitliche Entwicklung eines Quantenzustandes. Wenn ψ(t) der Zustand des Systems zur Zeit t ist, dann gilt

$\hat H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle$ .

Diese Gleichung ist die bekannte (zeitabhängige) Schrödingergleichung. Wenn der Zustand zum Anfangszeitpunkt (t = 0) bekannt ist, können wir die Gleichung integrieren und so den Zustand jedes beliebigen späteren Zeitpunkts erhalten, was z.B. in der Spektroskopie anwendung findet. Wenn $\hat H$ selbst zeitunabhängig ist, dann gilt:

$\left| \psi (t) \right\rangle = \hbox{exp}\left(-i \hat H t / \hbar\right) \left| \psi (0) \right\rangle$ .

wobei der Exponentialoperator auf der rechten Seite durch seine Reihendarstellung definiert wird.

Siehe auch: Bra-Ket

Hamiltonoperator

See also: Hamiltonoperator, Basisvektor, Bra-Ket, Energie, Exponentialfunktion, Hermitescher Operator, Hilbertraum, Linear unabhängig, Negative Energie, Plancksches Wirkungsquantum