Hilbert-Raum

Hilbert-Raum

berührt die Spezialgebiete

ist Beispiel für

ist Spezialfall von

umfasst als Spezialfälle

Euklidischer Raum

Ein Hilbert-Raum (auch Hilbertraum), benannt nach dem Mathematiker David Hilbert, ist eine Verallgemeinerung des Euklidischen Raums auf unendliche viele Dimensionen.

Der Hilbert-Raum ist ein Spezialfall eines Innenproduktraums (=Prähilbertraums), d.h. ein Vektorraum über den reellen Zahlen R oder den komplexen Zahlen C mit einem Skalarprodukt (=Innenprodukt). Das Skalarprodukt induziert eine Norm und eine Metrik.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

2 Bedeutung

3 Dualraum

4 Beispiele für Hilbert-Räume

5 Noch nicht Ausformuliertes ...

6 Trivia

7 Siehe auch

Definition

Ein Prähilbertraum, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Metrik ist, in dem also jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt Hilbertraum.

Bedeutung

Der hohe Grad an mathematischer Struktur in Hilbert-Räumen vereinfacht die Analysis ungemein und so spielen sie in der Funktionalanalysis, speziell in der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen und damit auch der Physik eine große Rolle. Als Beispiel sei hier die Quantenphysik genannt, wo die Zustände eines quantentheoretischen Systems einen Hilbert-Raum bilden.

Dualraum

Jeder Hilbert-Raum ist zugleich ein Banach-Raum und hat so alle dessen Eigenschaften. Insbesondere hat jeder Hilbert-Raum einen Dualraum. Hier gilt allerdings der Rieszsche Darstellungssatz: Jeder Hilbert-Raum ist isometrisch isomorph zu seinem Dualraum und somit auch zu seinem Bidualraum. Dieser Satz hat weit reichende Konsequenzen.

Die Eigenschaft, dass die kanonische Inklusion eines Raums in seinem Bidualraum ein isometrischer Isomorphismus ist, nennt man Reflexivität. Nach dem oben genannten Satz sind also alle Hilbert-Räume reflexiv.

Beispiele für Hilbert-Räume

$\mathbb{R}^{n}$ mit dem euklidischen Skalarprodukt.
$\mathbb{C}^{n}$ mit $\langle c_1,c_2\rangle = c_1^*c_2$ .
Der Raum der quadratintegrablen Funktionen (L²) mit dem L²-Skalarprodukt: $\langle f,g \rangle =\int f^*(x) g(x) {\rm d}x$ . Eine exaktere Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über L^p-Räume. Ein Beispiel eines solchen Raumes ist der oben genannte Raum der Wellenfunktionen in der Quantenmechanik.
Der Raum $\ell^2$ aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, an Hand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte.

Noch nicht Ausformuliertes ...

Wichtige Konzepte für den Umgang mit Hilbert-Räumen sind u.a. Orthogonalität, Hilbertraumbasis, Fourierkoeffizient, Besselsche Ungleichung, Parsevalsche Gleichung, Parallelogrammgleichung

Trivia

An der Georg-August-Universität in Göttingen, wo David Hilbert lange Jahre lehrte und forschte, gibt es einen Hilbertraum, nämlich das Foyer des Mathematischen Institutes, in dem eine Büste des Mathematikers aufgestellt ist. Die amüsante Zweideutigkeit des Namens wird ausländischen Gästen meist nicht klar: im Englischen heißt ein mathematischer Raum space und nicht etwa room.

Siehe auch

Weitere mathematische Räume siehe unter Raum (Mathematik)