Hyperbel (Mathematik)

In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Hyperbel (griech. hyperbállein = übertreffen) eine spezielle Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen, sich ins Unendliche erstreckenden Ästen besteht. Die Hyperbel gehört wie die Parabel und die Ellipse zu den Kegelschnitten.

Inhaltsverzeichnis

1 Definitionen und Begriffe

2 Die Hyperbel als Kegelschnitt

3 Eigenschaften

4 Gleichung der Hyperbel

5 Andere Lage

6 Formelsammlung

6.1 Hyperbelgleichung (kartesische Koordinaten)
6.2 Hyperbelgleichung (Parameterform)
6.3 Hyperbelgleichung (Polarkoordinaten)
6.4 Asymptotengleichungen (kartesische Koordinaten)
6.5 Tangentengleichung (kartesische Koordinaten)
6.6 Krümmungsradius

7 Siehe auch

8 Weblinks

Definitionen und Begriffe

Eine Hyperbel ist definiert als die Menge aller Punkte der Zeichenebene, für die die Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den so genannten Brennpunkten F₁ und F₂, konstant gleich 2a ist. (Dadurch, dass man die gegebene Abstandsdifferenz mit 2a und nicht mit a bezeichnet, vereinfachen sich die Formeln zur Hyperbel ein wenig.)

$hyp = \{X\mid |\overline{XF_1} - \overline{XF_2}| = 2a\}$

bild:Hyperbel_Ortskurve.PNG

Den halben Abstand der Brennpunkte bezeichnet man üblicherweise mit e. Die Gerade, die durch die beiden Brennpunkte geht, nennt man reelle Achse oder auch Hauptachse der Hyperbel. Genau zwei Punkte der Hyperbel liegen auf der Hauptachse; diese nennt man Scheitel. Die Scheitel haben zu den Brennpunkten die Abstände e+a bzw. e-a und voneinander den Abstand 2a. (Mit "Hauptachse" im engeren Sinn wird auch oft nur die Strecke bezeichnet, die die beiden Scheitel verbindet.) Die Senkrechte zur Hauptachse durch den Hyperbelmittelpunkt nennt man die Nebenachse oder die imaginäre Achse.

Es erweist sich als praktisch, für die Größe $\sqrt{e^2-a^2}$ einen eigenen Namen einzuführen; üblicherweise bezeichnet man sie mit dem Buchstaben b (imaginäre Halbachse). Es gilt also a² + b² = e². (Vergleiche dazu Ellipse.) Stimmen bei einer Hyperbel die Größen der Halbachsen (a und b) überein, so spricht man von einer gleichseitigen Hyperbel.

Neben der linearen Exzentrität e wird oft auch die numerische Exzentrizität $\varepsilon$ verwendet, ein dimensionsloser Wert, der sich aus

$\varepsilon = \frac{e}{a} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$

ergibt und stets größer als 1 ist.

Die halbe Länge einer Hyperbelsehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch nur Parameter) p der Hyperbel. p lässt sich berechnen durch:

$p = \frac{b^2}{a}$

Die Hyperbel als Kegelschnitt

Die Hyperbel ist ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse kleiner als der Öffnungswinkel des Doppelkegels ist.

Eigenschaften

Jede Hyperbel besitzt zwei Asymptoten, also zwei Geraden, denen sich die Punkte der Kurve beliebig annähern. Die beiden Asymptoten verlaufen durch den Mittelpunkt der Hyperbel. Ihr Schnittwinkel gegenüber der Hauptachse ist gegeben durch $\tan\alpha = \frac{b}{a}$ . Ist die Hyperbel gleichseitig, so stehen die Asymptoten senkrecht aufeinander.

Mit dem Begriff Direktrix oder Leitlinie bezeichnet man die beiden Parallelen zur Nebenachse im Abstand $d = \frac{a^2}{e}$ . Für einen beliebigen Punkt X der Hyperbel ist das Verhältnis zwischen den Abständen zu einem Brennpunkt und zur zugehörigen Direktrix gleich der numerischen Exzentrität:

$\mathrm{\overline{XF_1} : \overline{XP_1} = \overline{XF_2} : \overline{XP_2} = \varepsilon}$

Hyperbel mit Leitlinien|left

Umgekehrt kann man einen Punkt (als Brennpunkt) und eine Gerade (als Direktrix) sowie eine reelle Zahl $\varepsilon$ mit $\varepsilon > 1$ vorgeben und eine Hyperbel definieren als Menge aller Punkte der Ebene, für die das Verhältnis der Abstände zu dem Punkt und zu der Geraden gleich $\varepsilon$ ist.

Gleichung der Hyperbel

Die Gleichung der Hyperbel erhält eine besonders einfache Form, wenn sie in "1.Hauptlage" liegt, das heißt, dass die beiden Brennpunkte auf der x-Achse symmetrisch zum Ursprung liegen; bei einer Hyperbel in 1.Hauptlage haben also die Brennpunkte die Koordinaten (e, 0) und (-e, 0), und die Scheitel haben die Koordinaten (a, 0) und (-a, 0).

Für einen beliebigen Punkt (x,y) ist der Abstand zum Brennpunkt (e,0) gleich $\sqrt{ (x-e)^2 + y^2 }$ , zum anderen Brennpunkt $\sqrt{ (x+e)^2 + y^2 }$ . Der Punkt (x,y) liegt also genau dann auf der Hyperbel, wenn die Differenz dieser beiden Ausdrücke gleich 2a oder gleich -2a ist.

Durch algebraische Umformungen (unter Berücksichtigung von a² + b² = e²) kann man zeigen, dass die Gleichung

$\sqrt{ (x-e)^2 + y^2 } - \sqrt{ (x+e)^2 + y^2 } = \pm 2a$

zur Gleichung

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1$

äquivalent ist. Letztere Gleichung nennt man die Gleichung der Hyperbel in 1.Hauptlage.

Daraus ergibt sich, dass jede Hyperbel nach einer geeigneten Koordinatentransformation durch

$t \mapsto (a \cosh t, b \sinh t)$

parametrisiert werden kann. (Siehe auch cosh, sinh, Kreis-_und_Hyperbelfunktionen.)

Andere Lage

Eine besonders einfach visualisierbare Hyperbel wird durch die Funktion y = 1/x beschrieben (siehe Abbildung). Für diese Hyperbel ist a= b = $\sqrt{2}$ , und ihre Brennpunkte liegen bei $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ und $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ .

Graph der Hyperbel-Funktion 1/x

y = 1 / x

Auch andere Funktionen, wie z.B. $y=\frac{2x+1}{3x-5}$ , stellen Hyperbeln dar.

Formelsammlung

Hyperbelgleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Mittelpunkt $(x 0, y 0)$ , Hauptachse parallel zur x-Achse:

$\frac{(x-x_0)^2}{a^2} - \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$

Hyperbelgleichung (Parameterform)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse:

$\left\{\begin{matrix} x \, = \, \frac{a}{\cos t} \\ y \, = \, b \ \tan t \end{matrix}\right. \ , \ 0 \le t < 2\pi; \; t \ne \frac{\pi}{2}; \; t \ne \frac{3}{2}\pi$

Mittelpunkt $(x 0 | y 0)$ , Hauptachse parallel zur x-Achse:

$\left\{\begin{matrix} x = x_0 + \frac{a}{\cos t} \\ y = y_0 + b \ \tan t \end{matrix}\right. \ , \ 0 \le t < 2\pi; \; t \ne \frac{\pi}{2}; \; t \ne \frac{3}{2}\pi$